ヘルムホルツの定理

電磁気学Iでちょこちょこ名前が出てきましたヘルムホルツの定理についての、とりあえずの説明です。

※\vecが見づらいので\boldsymbolに置換中。２つのベクトル表記が混在していますが、気にしないでください。

概要

ヘルムホルツの定理とは、ある領域 $V$ において任意のベクトル $\boldsymbol{X}$ は、

\boldsymbol{X}(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4\pi}\int_V \left( \nabla' \cdot \boldsymbol{X}(\boldsymbol{r^{\prime}}) +\nabla' \times \boldsymbol{X}(\boldsymbol{r'}) \times \right) \nabla' \frac{1}{\left| \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'} \right|}dV' -\frac{1}{4\pi}\int_S \left( \boldsymbol{n} \cdot \boldsymbol{X}(\boldsymbol{r'}) +\boldsymbol{n} \times \boldsymbol{X}(\boldsymbol{r'}) \times \right) \nabla'\frac{1}{\left|\boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'}\right|}dS'

と表される、というものです¹（他の表現もあると思いますが）。

なので、 $\boldsymbol{X}$ がその源からの距離と共に十分にはやく減衰するのであれば、領域 $V$ を十分に大きく取ることにより面積分の項は消えてくれて ²、

\boldsymbol{X}(\boldsymbol{r})=\frac{1}{4\pi}\int_V \left( \nabla' \cdot \boldsymbol{X}(\boldsymbol{r^{\prime}}) +\nabla' \times \boldsymbol{X}(\boldsymbol {r'}) \times \right) \nabla' \frac{1}{\left| \boldsymbol{r}- \boldsymbol{r'} \right|}dV'

と書けることになります。ここで、右辺第１項については

\nabla \left( \frac{\nabla' \cdot \boldsymbol{X}(\boldsymbol{r'})}{\left| \boldsymbol{r}- \boldsymbol{r'} \right| } \right) =\left( \nabla'\cdot \boldsymbol{X}(\boldsymbol{r'})\right)\nabla\frac{1}{\left| \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'} \right|} + \frac{1}{\left| \boldsymbol{r}- \boldsymbol{r'} \right|}\nabla \left( \nabla'\cdot \boldsymbol{X}(\boldsymbol{r'})\right)= - \left( \nabla'\cdot \boldsymbol{X}(\boldsymbol{r'})\right)\nabla'\frac{1}{\left| \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'} \right|}

となり、第２項についても同様の変形が可能なので、

\boldsymbol{X}(\boldsymbol{r})=-\nabla \left\{ \frac{1}{4\pi} \int_V\left( \frac{\nabla' \cdot \boldsymbol{X}(\boldsymbol{r^{\prime}})}{ \left| \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'} \right| }\right) dV' \right\} + \nabla \times \left\{ \frac{1}{4\pi} \int_V\left( \frac{\nabla' \times \boldsymbol{X}(\boldsymbol{r^{\prime}})}{ \left| \boldsymbol{r}-\boldsymbol{r'} \right| }\right) dV' \right\}

となります³。

これは即ち、

あるベクトルはスカラー関数の勾配とベクトル関数の回転の和に分解することができる。
あるベクトルを一意に決めるためには、そのベクトルの発散と回転が与えられている必要がある。

ということを示しているといえます。

証明

おそらく色々な証明方法があると思いますが、それなりに流れが明瞭な方法で。

ベクトルグリーンの公式からスタートする方法

2つの任意のベクトル $\vec{X}$ と $\vec{Y}$ について、ベクトル恒等式

\nabla\cdot\left(\vec{X}\times\nabla\times\vec{Y}\right)=\left( \nabla\times\vec{X}\right) \cdot\left( \nabla\times\vec{Y}\right) -\vec{X}\cdot \left( \nabla\times\nabla\times\vec{Y} \right)

が成り立つことから、これを領域 $V'$ で体積分し、さらにガウスの発散定理を使うことで

\int_V \left[ \left( \nabla\times\vec{X}\right) \cdot\left( \nabla\times\vec{Y}\right) - \vec{X}\cdot \left( \nabla\times\nabla\times\vec{Y} \right) \right]dV'=\int_S \left(\vec{X}\times\nabla\times\vec{Y}\right)\cdot\vec{n}dS'

となります。これが出発点です。

最終的に $\vec{X}$ が $\vec{X}$ の発散と回転の体積分で表されるようにしたいので、適当な定ベクトル $\vec{a}$ ⁴、 $R=\left|\vec{r}-\vec{r'}\right|$ を用いて $\vec{Y}=\frac{\vec{a}}{R}$ とおき、最終的に両辺を $\vec{a}$ で割ることを考えます。

$\vec{Y}=\frac{\vec{a}}{R}$ を代入すると、上記のベクトルグリーンの公式は

\int_V \left[ \left( \nabla\times\vec{X}\right) \cdot\left( \nabla\times\frac{\vec{a}}{R}\right) - \vec{X}\cdot \left( \nabla\times\nabla\times \frac{\vec{a}}{R}\right) \right]dV'=\int_S \left(\vec{X}\times\nabla\times \frac{\vec{a}}{R} \right)\cdot\vec{n}dS'

となります。

ベクトル解析の公式 $\vec{X}\cdot\left(\vec{Y}\times\vec{Z}\right)= \vec{Z}\cdot\left(\vec{X}\times\vec{Y}\right)$ を使って $\vec{a}$ が外に出るように上式を式変形してゆくと、体積分の中は

\left\{ \vec{a}\cdot\left(\nabla'\times\vec{X}\times\nabla'\frac{1}{R}\right)\right\} +\left\{ \nabla'\cdot\left\{ \vec{X}\left(\vec{a}\cdot\nabla'\frac{1}{R}\right)\right\} -\left(\vec{a}\cdot\nabla'\frac{1}{R}\right)\nabla'\cdot\vec{X} -\vec{a}\cdot\vec{X}\nabla'^2\frac{1}{R}\right\} + \left\{ \vec{a}\cdot\left\{ \left( \vec{n}\times\vec{X}\right) \times\nabla'\frac{1}{R} \right\} \right\}

となります⁵。

ここで、２つ目の{}の中の１つ目の項については、ガウスの発散定理を使うことで体積分を面積分に変換することができます。また、同じく２つ目の{}の中の３つ目の項は、

\int_V \vec{a}\cdot\vec{X}\nabla'^2\frac{1}{R} dV'=\vec{a}\cdot\left(-4\pi\vec{X}(\vec{r})\right)

となります⁶。

以上をまとめて、共通の $\vec{a}$ で割ると、最初に書いたヘルムホルツの公式が得られることになります。

デルタ関数からスタートする方法

上でも使った $\delta(\vec{r}-\vec{r'})=-\frac{1}{4\pi}\nabla^2\frac{1}{|\vec{r}-\vec{r'}|}$ を用いると⁷、

\vec{X}(\vec{r})=\int_v\vec{X}(\vec{r'})\left( -\frac{1}{4\pi}\nabla^2\frac{1}{|\vec{r}-\vec{r'}|} \right) dV'

これを

\nabla\frac{1}{|\vec{r}-\vec{r'}|}=-\nabla' \frac{1}{|\vec{r}-\vec{r'}|}

とベクトル解析の公式を利用してがりがり式変形していけばよい。

のだがちょっと調べたらこの手順については英語版Wikipediaに詳細な説明があったので、略。

電磁気学Iの内容にヘルムホルツの定理を適用

静電場の場合

\vec{E}(\vec{r})=-\nabla \left\{ \frac{1}{4\pi} \int_V\left( \frac{\nabla' \cdot \vec{E}(\vec{r^{\prime}})}{ \left| \vec{r}-\vec{r'} \right| }\right) dV'\right\} + \nabla \times \left\{ \frac{1}{4\pi} \int_V\left( \frac{\nabla' \times \vec{E}(\vec{r^{\prime}})}{ \left| \vec{r}-\vec{r'} \right| }\right) dV' \right\}

に、静電場におけるMaxwell方程式

\nabla\cdot\vec{E}=\rho/\varepsilon

\nabla\times\vec{E}=0

を代入すると

\vec{E}(\vec{r})=-\nabla \left\{ \frac{1}{4\pi} \int_V\left( \frac{\rho(\vec{r^{\prime}})/\varepsilon}{ \left| \vec{r}-\vec{r'} \right| }\right) dV' \right\} + \nabla \times \left\{ \frac{1}{4\pi} \int_V\left( \frac{0}{ \left| \vec{r}-\vec{r'} \right| }\right) dV' \right\}

なので、

\vec{E}(\vec{r})=-\nabla\phi

\phi= \frac{1}{4\pi\varepsilon} \int_V \frac{\rho(\vec{r^{\prime}})}{ \left| \vec{r}-\vec{r'} \right| }dV'

となり、電場と電気スカラーポテンシャルの関係を示す式になります。

静磁場の場合

\vec{B}(\vec{r})=-\nabla \left\{ \frac{1}{4\pi} \int_V\left( \frac{\nabla' \cdot \vec{B}(\vec{r^{\prime}})}{ \left| \vec{r}-\vec{r'} \right| }\right)dV' \right\} + \nabla \times \left\{ \frac{1}{4\pi} \int_V\left( \frac{\nabla' \times \vec{B}(\vec{r^{\prime}})}{ \left| \vec{r}-\vec{r'} \right| }\right) dV' \right\}

に静磁場におけるMaxwell方程式

\nabla\cdot\vec{B}=0

\nabla\times\vec{B}=\mu\vec{j}

を代入すると

\vec{B}(\vec{r})=-\nabla \left\{ \frac{1}{4\pi} \int_V\left( \frac{0}{ \left| \vec{r}-\vec{r'} \right| }\right) dV' \right\} + \nabla \times \left\{ \frac{1}{4\pi} \int_V\left( \frac{\mu\vec{j}}{ \left| \vec{r}-\vec{r'} \right| }\right) dV' \right\}

なので、

\vec{B}=\nabla\times\vec{A}

\vec{A}= \frac{1}{4\pi} \int_V\left( \frac{\mu\vec{j}}{ \left| \vec{r}-\vec{r'} \right| }\right) dV'

となり、磁束密度と磁気ベクトルポテンシャルの関係を示す式になります。

時間変動する場合

ヘルムホルツの定理には時間が含まれていないため、ある点での情報が瞬時に全体に伝わることを前提としています。なので、実は物理的にはちょっと正しくないのですが、とりあえず電場に関するMaxwell方程式

\nabla\cdot\boldsymbol{E}=\rho/\varepsilon

\nabla\times\boldsymbol{E}=-\frac{\partial \boldsymbol{B}}{\partial t}

を代入すると

\vec{E}(\vec{r})=-\nabla \left\{ \frac{1}{4\pi} \int_V\left( \frac{\rho(\vec{r^{\prime}})/\varepsilon}{ \left| \vec{r}-\vec{r'} \right| }\right) dV' \right\} + \nabla \times \left\{ \frac{1}{4\pi} \int_V\left( \frac{-\partial \vec{B}(\vec{r'})/\partial t}{ \left| \vec{r}-\vec{r'} \right| }\right) dV' \right\} = -\nabla \left\{ \frac{1}{4\pi} \int_V\left( \frac{\rho(\vec{r^{\prime}})/\varepsilon}{ \left| \vec{r}-\vec{r'} \right| }\right) dV' \right\} - \frac{\partial}{\partial t}\nabla \times \left\{ \frac{1}{4\pi} \int_V\left( \frac{ \vec{B}(\vec{r}')}{ \left| \vec{r}-\vec{r'} \right| }\right) dV' \right\}

右辺第１項は上の電気スカラーポテンシャルを使って $-\nabla\phi$ と書けます。第２項については

\nabla \times \left\{ \int_V\left( \frac{ \boldsymbol{B}(\vec{r}')}{ \left| \vec{r}-\vec{r'} \right| }\right) dV' \right\}=\int_V \nabla\frac{1}{\left| \vec{r}-\vec{r'} \right|}\times\vec{B}(\vec{r'})dV' =-\int_V \nabla'\frac{1}{\left| \vec{r}-\vec{r'} \right|}\times\vec{B}(\vec{r'})dV' =\int_V\frac{\nabla'\times\vec{B}(\vec{r'})}{\left| \vec{r}-\vec{r'} \right|}dV'+\int_V \nabla'\times\frac{\vec{B}(\vec{r'})}{\left| \vec{r}-\vec{r'} \right|}dV'

となりますが、最後の項は面積分に変えることができ⁸、積分領域を十分に大きくすることで0になります。なので、結局

\int_V\frac{\nabla'\times\vec{B}(\vec{r'})}{\left| \vec{r}-\vec{r'} \right|}dV' = \int_V\frac{\mu\vec{j}(\vec{r'})}{\left| \vec{r}-\vec{r'} \right|}dV'

となり、これは上のベクトルポテンシャルに一致。即ち、

\vec{E}=-\nabla\phi -\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}

が得られることになります。

磁場については、上の式変形の途中の式を使って

\nabla\times\vec{A}=\vec{B}=\nabla\times \frac{1}{4\pi}\int_V\frac{\nabla'\times\vec{B}(\vec{r'})}{\left| \vec{r}-\vec{r'} \right|}dV'

なので、そのものです⁹。

ここで $\boldsymbol{r}$ と $\boldsymbol{r^{\prime}}はV$ 内の点の位置ベクトル、また $S$ は $V$ の表面です。
つまり、 $S$ の表面積が増大する度合いに比べて面積分の中の項の減少の度合いが早いのであれば、ということです。
$\nabla$ と $\nabla'$ の違いに注意。
なので $\nabla\cdot\vec{a}=\nabla\times\vec{a}=0$ となります。
非常に面倒ですが。
$\delta(\vec{r}-\vec{r'})=-\frac{1}{4\pi}\nabla^2\frac{1}{|\vec{r}-\vec{r'}|}$ を使いました。
なぜこう書けるかはグリフィス電磁気学の1.5参照
あまり目にすることがない式ですが、 $\nabla\times\vec{C}=\left(\frac{\partial C_z}{\partial y}-\frac{\partial C_y}{\partial z}, \frac{\partial C_x}{\partial z}-\frac{\partial C_z}{\partial x}, \frac{\partial C_y}{\partial x}-\frac{\partial C_x}{\partial y} \right)=\left(\nabla\cdot(0,C_z,-C_y), \nabla\cdot(-C_z,0,C_z), \nabla\cdot(C_y,-C_x,0) \right)$ となりますので、体積分した後各成分に対して発散定理を使いうと、 $\vec{n}\times C$ の表面積分が出てきます。
$\nabla\times\vec{B}=\mu\vec{j}+\mu\varepsilon\frac{\partial\vec{E}}{\partial t}$ を代入して式変形してもできると思うが、やったことない。