はじめに

「相対論的」な「量子力学」を学ぶ意義には以下のようなものがある。

ミクロな高エネルギー系を扱うことができる 特殊相対性理論の要請を満たすように量子力学を記述することで、ミクロな系において光速に近い速度を持つ粒子の振る舞いを理解することができる。

特に、不確定性関係\(\Delta x \sim \hbar /(2 \Delta p)\)により、より微細な構造を調べるには高エネルギーが必要となり、その結果、相対論的効果が顕著に現れる。このため、素粒子などの微視的な構成要素を探究するには、量子論と相対論の両方を考慮する必要がある。

例えば、水素原子のボーアの模型における電子の軌道半径は\(a_0 = \hbar c/ (\alpha m_e c^2)\)であるが、これを不確定性関係の\(\Delta x\)に代入すると\(\Delta p \sim (\alpha m_e c^2)/(2c)\)となる。すなわち、電子の典型的な速度は光速の\(\alpha\) (\(\simeq 1/137\))倍程度であることが示唆される。この結果、水素原子内の電子でさえ光速の約\(1\%\)に達するため、エネルギー準位の精密な解析には相対論的補正が不可欠となる。

また、相対論的なエネルギーと質量の関係式 \((E = mc^2)\) により、高エネルギーの粒子衝突によって重い粒子が生成され、新たな粒子の探索が可能となる。実際、素粒子や原子核の研究では、粒子を高エネルギーまで加速し衝突させる実験が行われている。加速された粒子は光速に近い速度を持つため、その衝突現象には相対論的効果が顕著に現れる。

基本法則の制約により予言能力が高まる 特殊相対論では物理法則はすべての慣性系で同じ形をとる必要がある。そのため、量子力学もローレンツ共変な形に拡張されるべきであり、これによりクライン・ゴルドン方程式やディラック方程式が導かれる。 このように、波動関数が満たすべき方程式の形がローレンツ対称性によって制限されるため、 存在すべき相互作用を理論的に予言でき、存在しないはずの相互作用を排除できる。 例えば、ディラック方程式の非相対論的極限を取ることで、スピン軌道相互作用や異常ゼーマン効果が自然に導かれる。また、スピンや反粒子の概念が自動的に現れることで、それらの理論的起源を明確に理解できる。

多体系を扱う場の量子論への橋渡しになる 本講義の前半では「一体系の相対論的量子力学」を中心に扱う。 ¹ ただし、一体系の理論では粒子の生成消滅現象を記述できないという限界がある。 この問題を克服するために、後半では場の量子論を導入する。

場の量子論は、現代物理学のさまざまな分野の基盤をなしている。素粒子や原子核の研究はもちろん、宇宙の起源を探る初期宇宙論においても不可欠である。物性物理学では、対象とする物質に応じて多様な場の理論が実現され、たとえば対称性の自発的破れによる超伝導の発現など、興味深い現象が場の量子論の枠組みで説明されている。

特に、統計力学と場の量子論は密接に関連しており、物性物理学で扱われる有限密度系や、初期宇宙のような高温・高密度の系も場の理論によって記述することができる。

このように、場の量子論は幅広い分野で重要な役割を果たしており、その学習の前段階として、まず一体系を扱う相対論的量子力学を学ぶことは自然なステップである。

一体問題の近似理論として有用である 相対論的量子力学の内容は場の量子論に包含されているため、場の量子論から直接学ぶことも可能である。しかし、実際には次のような場面で一体系の理論が有用となる。

外場中の一体問題：原子内の電子や磁場中の荷電粒子を扱う際、電磁場を外場として記述し、一体問題へ帰着させることができる。例えば、水素原子のラムシフトや粒子の磁気モーメントの計算には一体系の相対論的量子力学の枠組みが活用できる。

クォーク束縛状態の解析：ハドロンの加速器実験ではクォークと反クォークが束縛状態を形成することがあり、そのエネルギー準位によって束縛状態の形成確率や崩壊率が変化する。このエネルギー準位の構造を詳細に解析することで、ハドロンを構成するクォークの性質を理解する手がかりが得られる。このような二体系の問題は、重心系で考えることで実質的に一体系の問題に帰着できる。したがって、水素原子のように安定した構造を持たない束縛状態であっても、その解析には一体系の理論が有用となる。

以上を踏まえ、本講義の目標は次のとおりである。

• クライン・ゴルドン方程式やディラック方程式を導出し、その解が表すスピンや反粒子の概念を学ぶ。 ²

• ゲージ原理に基づいて電磁場中でのディラック方程式を考察し、非相対論的量子力学で現象論的に導入されていた相互作用が自然に現れることを確認する。 ³

• 多体系を扱うための場の量子論の基礎を学び、因果律が満たされることを確かめる。

本講義では自然単位系を採用する。つまり、光速と換算プランク定数を1に設定し、 \[\begin{align} &c = 2.99 \times 10^8 m/s = 1 \\ &\hbar = 6.58 \times 10^{-25} \ \mathrm{GeV} s = 1\end{align}\] とする。 ここで、エネルギーの単位として以下を定義する。 \[\begin{align} &1\ \mathrm{GeV} = 10^9 \ \mathrm{eV} , \\ &1 \ \mathrm{eV} = e \times 1V = 1.60 \times 10^{-19} J, \\ &e = 1.60 \times 10^{-19} C \\ & 1J = 1 C V\end{align}\] 量子力学ではプランク定数\(\hbar\)、相対論では光速\(c\)が頻繁に現れるため、これらを1にすることで式を簡潔に表記できる。この単位系を用いることは、"相対論的スケール"や"量子論的視点"で現象を考えることに対応する。

\(c=1\)の単位系では、時間を距離の単位で測ることになり、さらに\(E=mc^2\)の関係から質量をエネルギーの単位で測ることになる。加えて、\(\hbar=1\)とすると距離もエネルギーの単位で測ることになり、最終的に全てをエネルギーの単位で表せる。この結果、次元の関係は次のように整理される。 \[\begin{align} \mathrm{ [エネルギー] = [運動量] = [質量] = [時間]}^{-1}\mathrm{ = [距離]}^{-1}\end{align}\] そこで、エネルギーの単位を一つ決める必要がある。素電荷\(e\)を持つ粒子を1Vの電圧で加速したときに得るエネルギーを\(1 \ \mathrm{eV}\)とし、電子のようなミクロな系のエネルギースケールとして採用する。例えば、水素原子の束縛エネルギーは約\(13.6 \ \mathrm{eV}\)であり、eVの単位が適切であることを示唆している。 ⁴

さらに、クーロンまたはアンペアの単位を変更し、 \[\begin{align} \epsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12} C/(V m) = 1\end{align}\] とする。 すると、素電荷は無次元量になり、\(e \simeq 0.3\)となる。⁵

相対論的量子力学の参考書として、以下の文献を挙げる。

• 川村嘉春　「相対論的量子力学」

• 日笠健一　「ディラック方程式」

• J. J. Sakurai and Jim Napolitano, "Modern Quantum Mechanics"

場の理論の教科書における関連部分も参考になる。⁶

• J. J. Sakurai, "Advanced Quantum Mechanics"

• M. E. Peskin, "An Introduction To Quantum Field Theory" 2, 3章

• M. Srednicki, "Quantum Field Theory" 1,2章,その他

• S. Weinberg, "Quantum Theory of Fields, Vol 1" 1, 14.1章

1.　特殊相対論の復習

1-1.　ローレンツ変換

特殊相対論によれば、あらゆる慣性系で同じ物理法則が成り立たなければならない。これは、理論に現れる基礎方程式がローレンツ変換の下で共変でなければならないことを意味する。 ⁷

ローレンツ変換では時間と空間が混ざり合って変換されるため、時間と空間をまとめて反変4元ベクトルで表すと便利である。\[\begin{align} x^\mu = \begin{pmatrix} x^0 \\ x^1 \\ x^2 \\ x^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix} \tag{1.1}\end{align}\] 以下、\(\mu\)などのギリシャ文字の添え字は\(0,1,2,3\)を走り、\(i\)などのローマ文字の添え字は\(1,2,3\)を走るとする。また、\(p^\mu = (p^0, \boldsymbol{p})\)のように空間3次元のベクトルはボールド体で表す。 さらに、アインシュタインの和の規約を採用し、\(p_\mu x^\mu \equiv \sum_{\mu} p_\mu x^\mu\)のように同じ文字の上添え字と下添え字が一つずつ現れる場合は和を取ると約束する。

時空の線素は\[\begin{align} ds^2 &= \eta_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu \\ &= -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 \tag{1.2}\end{align}\] と書ける。ここで、 ローレンツ計量\(\eta_{\mu \nu}\)の符号は\[\begin{align} \eta_{\mu \nu} = \mathrm{diag} (-1, 1,1,1), \tag{1.3}\end{align}\] とする。 この線素を不変に保つ座標変換をローレンツ変換と呼ぶ。すなわち、ローレンツ変換を\[\begin{align} dx'^\mu = \Lambda^{\mu}_{\ \nu} d x^\nu, \tag{1.4}\end{align}\] と書いたとき、 線素の不変性\[\begin{align} ds^2= \eta_{\mu \nu} dx'^\mu dx'^\nu = \eta_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu \tag{1.5}\end{align}\] より、次の関係式を満たす。\[\begin{align} \eta_{\mu \nu} \Lambda^{\mu}_{\ \alpha} \Lambda^{\nu}_{\ \beta} = \eta_{\alpha \beta}, \label{Lorentzeta} \tag{1.6}\end{align}\] 例えば、\(z\)軸方向に速度\(v\)のブーストを行うローレンツ変換は、\[\begin{align} \Lambda^{\mu}_{\ \alpha} = \begin{pmatrix} \gamma & 0 & 0 & \gamma v \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \gamma v & 0 & 0 & \gamma \end{pmatrix} \tag{1.7}\end{align}\] と表される。 ここで、\[\begin{align} \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-v^2}}, \tag{1.8}\end{align}\] はローレンツのガンマ因子である。

1-2.　座標変換の変換性

相対論では、座標変換に対する物理量の変換性を理解することが重要である。 \(p^\mu\)のように上付き添え字で表される反変ベクトルは、座標と同様に\[\begin{align} p'^\mu = \Lambda^{\mu}_{\ \nu} p^\nu \tag{1.9}\end{align}\] と変換する。一方で、微分\(\partial_\mu\)のように下付き添え字で表される共変ベクトルは、\[\begin{align} \partial_\mu' &= \left( \Lambda^{\mu}_{\ \nu} \right)^{-1} \partial_\nu \\ &\equiv \Lambda_{\mu}^{\ \nu} \partial_\nu \tag{1.10}\end{align}\] と変換する。

ローレンツ行列の性質\(\eta_{\mu \nu} \Lambda^{\mu}_{\ \alpha} \Lambda^{\nu}_{\ \beta} = \eta_{\alpha \beta}\)を用いると、4元ベクトルやテンソルの添え字の上げ下げを\(\eta_{\mu \nu}\)やその逆行列\(\eta^{\mu \nu}\)で行うことができる。 また、全ての添え字が縮約されたスカラー量は座標変換によって不変である。例えば、\[\begin{align} - \eta_{\mu \nu} p^\mu p^\nu &= E^2 - \boldsymbol{p}^2, \tag{1.11}\end{align}\] は座標変換で不変であり、粒子の静止系では\(m^2\)に等しい。

物理法則をローレンツ変換に対して共変な形（スカラー量なら不変な形）にすることが、相対論的理論の要請である。例えば、Maxwell方程式\(\partial_\nu F^{\mu \nu} = j^\mu\)はスカラー、ベクトル、テンソルの量で構成され、両辺が同じ変換性を持つ形をしているため、ローレンツ変換に対して不変である。相対論的量子力学では、波動関数が従う方程式をローレンツ共変な形にすることが一つの目標となる。

1-3.　電磁気学

古典電磁気学では、電場\(\boldsymbol{E}\)と磁場\(\boldsymbol{B}\)はスカラーポテンシャル\(\Phi\)とベクトルポテンシャル\(\boldsymbol{A}\)を用いて\[\begin{align} &\boldsymbol{E} = - \nabla \Phi - \frac{\partial}{\partial t} \boldsymbol{A} \\ &\boldsymbol{B} = \nabla \times \boldsymbol{A} \tag{1.12}\end{align}\] と表される。 これは以下のゲージ変換で不変である。\[\begin{align} &\Phi \to \Phi + \frac{\partial}{\partial t} \lambda \\ &\boldsymbol{A} \to \boldsymbol{A} - \nabla \lambda \tag{1.13}\end{align}\] これを\(A^\mu = (\Phi, \boldsymbol{A})\)とまとめると、\[\begin{align} A_\mu \to A_\mu + \partial_\mu \lambda \tag{1.14}\end{align}\] と書ける。

荷電粒子の非相対論的なハミルトニアンは、\[\begin{align} H = \frac{1}{2m} \left( \boldsymbol{P} - q \boldsymbol{A} \right)^2 + q \Phi \tag{1.15}\end{align}\] と表される。⁸ このハミルトニアンは、電磁場が存在しない場合と比較すると、\[\begin{align} p^\mu \to p^\mu - q A^\mu \tag{1.16}\end{align}\] という置き換えによって得られる。 この書き換えはローレンツ共変な形をしているため、相対論的な場合にも適用できると考えられる。

2.　量子力学の復習

2-1.　シュレーディンガー方程式

ある1粒子の量子状態\(\left| \psi \right>\)を考える。 この状態は次のシュレーディンガー方程式に従って時間発展する。\[\begin{align} i \frac{\partial}{\partial t} \left| \psi (t)\right> = \hat{H} \left| \psi (t)\right>, \label{schrodinger1} \tag{2.1}\end{align}\] ここで、ハミルトニアンは\[\begin{align} \hat{H} = \frac{\hat{\boldsymbol{p}}^2}{2m} + V(\hat{\boldsymbol{x}}) \tag{2.2}\end{align}\] と表される。 粒子の位置の固有状態\(\left| \boldsymbol{x} \right>\)用いると位置表示の波動関数\(\psi(\boldsymbol{x},t) = \left< \boldsymbol{x} | \psi \right>\)に対する方程式に書き換えられ、シュレーディンガーの波動方程式\[\begin{align} i \frac{\partial}{\partial t} \psi(\boldsymbol{x},t) = \left[ - \frac{1}{2m} \boldsymbol{\nabla}^2 + V(\boldsymbol{x}) \right] \psi(\boldsymbol{x},t), \label{schrodinger2} \tag{2.3}\end{align}\] が得られる。 ここで、\(\left< \boldsymbol{x} \right| \hat{\boldsymbol{p}} = - i \partial/ \partial\boldsymbol{x} \left< \boldsymbol{x} \right|\)を用いた。

2-2.　確率の密度

位置\(\boldsymbol{x}\)における粒子数密度演算子を\(\left|\boldsymbol{x}\right>\left<\boldsymbol{x}\right|\) と定義すると、状態\(\left| \psi \right>\)における期待値は\[\begin{align} &\left<\psi |\boldsymbol{x}\right>\left<\boldsymbol{x}| \psi \right> \\ &= \left\vert {\psi(\boldsymbol{x},t)} \right\vert^2 \\ &\equiv \rho(\boldsymbol{x},t) \tag{2.4}\end{align}\] となる。 1粒子状態を考える場合、「位置\(\boldsymbol{x}\)における粒子数の期待値」は「粒子を位置\(\boldsymbol{x}\)に見出す確率」と解釈できる。 このため、\(\rho(\boldsymbol{x},t)\)を確率密度と呼ぶ。

確率密度の時間変化を計算すると、\[\begin{align} \frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla \cdot \boldsymbol{j} = 0, \tag{2.5}\end{align}\] が得られる。⁹ ここで、確率の流れのベクトル\(\boldsymbol{j}\)を\[\begin{align} \boldsymbol{j} = \frac{-i}{2m} \left[ \psi^* \nabla \psi - (\nabla \psi^*) \psi \right] \tag{2.6}\end{align}\] と定義した。 この式は連続の方程式と呼ばれ、粒子を見出す確率密度が時間とともに連続的に変化することを示している。この式を積分すると、\[\begin{align} \frac{d}{d t} \int \rho d^3x = 0 \tag{2.7}\end{align}\] となる。 これは、粒子をどこかに見出す確率が時間とともに変化しない、すなわち粒子数が保存されることを意味する。

粒子は必ずどこかに存在するため、規格化条件として\[\begin{align} \int d^3x \rho(\boldsymbol{x},t) = 1, \tag{2.8}\end{align}\] を満たさなければならない。連続の方程式によって、この条件が時間発展の過程で破られないことが保証される。

2-3.　ゲージ原理

粒子の電荷を\(q\)とすると、古典電磁気学における相互作用は\[\begin{align} p^\mu \to p^\mu - q A^\mu \tag{2.9}\end{align}\] と置き換えれることで得られた。これを量子力学の枠組みに適用すると、波動関数が満たす方程式において\[\begin{align} \partial_\mu \to \partial_\mu - i q A_\mu \label{eq:gauge1} \tag{2.10}\end{align}\] と置き換えれば電磁場との相互作用を取り入れられることが期待される。これに基づくと、電磁場中のシュレーディンガー方程式は\[\begin{align} i \frac{\partial}{\partial t} \psi(\boldsymbol{x},t) = \left[ - \frac{1}{2m} \left( \boldsymbol{\nabla} - i q \boldsymbol{A} \right)^2 + q \Phi \right] \psi(\boldsymbol{x},t), \tag{2.11}\end{align}\] となる。

古典電磁気学の方程式はゲージ変換に対して不変であるが、このシュレーディンガー方程式はそのままでは不変でない。しかし、\(\partial_\mu \to \partial_\mu - i q A_\mu\)の置き換えによってゲージポテンシャルが現れるならば、波動関数の微分項がゲージ変換を相殺することが期待される。そこで、波動関数もゲージ変換に伴って変換すると仮定し、\[\begin{align} \psi(x) \to e^{i q \theta(x)} \psi(x) \\ A_\mu \to A_\mu + \partial_\mu \theta (x) \tag{2.12}\end{align}\] とすると、\[\begin{align} \left( \partial_\mu - i q A_\mu \right) \psi(x), \tag{2.13}\end{align}\] がゲージ変換に対して不変であることがわかる。波動関数の変換は単なる位相変換であるため、確率密度\(\rho(x)\)のような観測量もゲージ変換に対して不変である。

この変換則はU(1)群を形成するため、U(1)ゲージ変換と呼ばれる。理論がゲージ変換に対して対称であることを要求することで粒子と電磁場の相互作用が導かれた。この原理をゲージ原理と呼ぶ。

2-4.　電子のスピン

電子の状態は位置だけでは決定されず、スピンと呼ばれる内部自由度を持つ。そのため、電子の波動関数\(\psi\)はスピンの2成分を含み、\[\begin{align} \psi = \begin{pmatrix} \psi_+(\boldsymbol{x},t) \\ \psi_-(\boldsymbol{x},t) \end{pmatrix} \tag{2.14}\end{align}\] と表される。 スピンの自由度は空間回転の演算によって混ざり合い、角運動量\(1/2\)を持つ。このため、電子はスピン\(1/2\)を持つとされる。

電荷\(q\)を持つスピン\(1/2\)の粒子の波動関数の時間発展を記述する方程式は、実験結果を再現する形として次のように与えられる。 ¹⁰\[\begin{align} i \frac{\partial}{\partial t} \psi = \left[ - \frac{1}{2m} \left( \boldsymbol{\nabla} - i q \boldsymbol{A} \right)^2 - \frac{g q}{2 m} \boldsymbol{S} \cdot \boldsymbol{B} + q \Phi \right] \psi, \label{Pauli} \tag{2.15}\end{align}\] これはシュレディンガー・パウリ方程式と呼ばれる。 ここで、 \(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\sigma}/2\)はスピン演算子、\(g\) (\(\simeq 2\))はg因子である。 パウリ行列\(\boldsymbol{\sigma}\)は\[\begin{align} &\{ \sigma^i, \sigma^j\} \equiv \sigma^i \sigma^j + \sigma^j \sigma^i = 2 \delta^{ij}, \\ &\left[ \sigma^i, \sigma^j \right] \equiv \sigma^i \sigma^j - \sigma^j \sigma^i = 2 i \sum_k \epsilon^{ijk} \sigma^k, \tag{2.16}\end{align}\] を満たす。ただし、\(\epsilon^{ijk}\)は完全反対象テンソルで、\(\epsilon^{123} =1\)とする。 シュレディンガー・パウリ方程式の中の\((-g q/2 m) \boldsymbol{S} \cdot \boldsymbol{B}\)の項はパウリ項と呼ばれ、一様磁場中の原子に対する異常ゼーマン効果を説明する。

さらに、スピン軌道相互作用を考慮すると、\[\begin{align} H_{LS} = \frac{1}{2m^2} \frac{1}{r} \frac{\partial V_c}{\partial r} (\boldsymbol{L} \cdot \boldsymbol{S}), \tag{2.17}\end{align}\] の項が導入され、原子のスペクトルの微細構造を説明できる。これはナトリウムのD線の観測などで確かめられている。

これらの方程式を受け入れると、いくつかの理論的疑問が生じる。パウリ項やスピン軌道相互作用はゲージ変換に対して不変であるが、単純な置き換え(\(\partial_\mu \to \partial_\mu - i q A_\mu\))では現れない。これらの項を何らかの原理から導出し、その係数を理論的に予言することは可能だろうか。ただし、スピンは古典的な対応物を持たないため、古典論からの類推では説明が難しいことが予想される。

本講義では、相対論的量子力学の枠組みでスピンが自然に現れ、それに伴いパウリ項やスピン軌道相互作用も自動的に導かれることを学ぶ。

3.　クラインゴルドン方程式

本章では、後に登場するディラック粒子の波動関数\(\psi\)と区別するため、波動関数を\(\phi\)と表記する。

量子力学をローレンツ共変な形に拡張するには、いくつかの方法がある。一つは、ハイゼンベルク表示に移り、時間発展を演算子に担わせるとともに、演算子のラベルに時間だけでなく空間の座標も含める方法である。これは演算子を空間および時間に依存する“場"とみなし、場の量子論へと発展させる方法に他ならない。

もう一つの方法は、1体系の状態を位置の固有状態で展開した波動関数 \(\phi(\boldsymbol{x},t) = \left< \boldsymbol{x} | \phi(t) \right>\) が時間と空間の変数を持つことに着目し、これが満たすシュレディンガーの波動方程式をローレンツ共変な形に一般化する方法である。この方法では1体系の状態しか扱えないが、非相対論的量子力学からの自然な拡張として理解しやすい。本講義の前半では、このアプローチを採用する。

3-1.　自由粒子のクライン・ゴルドン方程式

ハミルトニアンと運動量演算子の作用は次のように表される。\[\begin{align} \left<\boldsymbol{x} \right|\hat{H} \left| \phi (t) \right> = i \partial_0 \phi(\boldsymbol{x},t) \\ \left<\boldsymbol{x}|\hat{p}^i |\phi(t) \right> = -i \partial_i \phi(\boldsymbol{x},t) \tag{3.1}\end{align}\] ここで、 \(\hat{p}^\mu = (\hat{H}, \hat{p}^i)\)と定義すれば\[\begin{align} \left<\boldsymbol{x}|\hat{p}^\mu|\phi(t) \right> = -i \eta^{\mu\nu} \partial_\nu \phi(x) \label{eq:hatp} \tag{3.2}\end{align}\] のように、見かけ上ローレンツ共変のような形に表せる。¹¹

この関係を用いると、\[\begin{align} \left<\boldsymbol{x}| \eta_{\mu\nu} \hat{p}^\mu \hat{p}^\nu |\phi \right> = - \eta^{\mu\nu} \partial_\mu \partial_\nu \phi(x) \label{eq:KG01} \tag{3.3}\end{align}\] となる。 一方で、エネルギー\(E\)と運動量\(\boldsymbol{p}\)の固有状態の完全形を用いると、左辺は次のように変形できる。\[\begin{align} \left<\boldsymbol{x}\right| \eta_{\mu\nu} \hat{p}^\mu \hat{p}^\nu \sum_{\boldsymbol{p}, i} \left| E,\boldsymbol{p} \right> \left<E,\boldsymbol{p}\right| \left. \phi \right> &= \sum_{\boldsymbol{p}, i} \eta_{\mu\nu} p^\mu p^\nu \left<\boldsymbol{x}\right| \left. E,\boldsymbol{p} \right> \left<E,\boldsymbol{p}\right| \left. \phi \right> \\ &= -m^2 \sum_{\boldsymbol{p}, i} \left<\boldsymbol{x}\right| \left. E,\boldsymbol{p} \right> \left<E,\boldsymbol{p}\right| \left. \phi \right> \\ &= -m^2 \phi(x) \label{eq:KG02} \tag{3.4}\end{align}\] ここで、完全系のラベルで運動量以外のものをまとめて\(i\)と書き、2行目では自由粒子のエネルギーと運動量の関係式\(-m^2 = \eta_{\mu\nu} p^\mu p^\nu\)を用いた。 これらの式を合わせると、\[\begin{align} \left( \partial_\mu \partial^\mu - m^2 \right) \phi(x) = 0 \label{KGeq} \tag{3.5}\end{align}\] となり、波動関数が従うべきローレンツ共変な方程式が得られる。これをクラインゴルドン方程式と呼ぶ。

任意の自由粒子の波動関数はクラインゴルドン方程式を満たすと期待される。 ただし、本章では特にスカラー量として振る舞う波動関数 \(\phi(x)\)を考える。 すなわち、ローレンツ変換\(x^\mu \to {x'}^{\mu}\)に対して、\[\begin{align} \phi(x) \to \phi'(x') =\phi(x) \label{eq:scalar} \tag{3.6}\end{align}\] と変換するものを扱う。 ローレンツ変換には座標の回転変換も含まれるため、\(\phi(x)\)がスカラーであることは、この波動関数がスピン0の粒子を記述することを意味する ¹²

3-2.　自由粒子の解

クライン・ゴルドン方程式の一般解は\[\begin{align} \phi(x) = C e^{i k_\mu x^\mu} \label{KGsol} \tag{3.7}\end{align}\] の形になる。ここで、 \(k^\mu = (\omega, \boldsymbol{k})\)とした。 これをクライン・ゴルドン方程式に代入すると、\[\begin{align} \left( \omega^2 - \boldsymbol{k}^2 - m^2 \right) C e^{i k x} = 0 \tag{3.8}\end{align}\] が得られ、\[\begin{align} \omega = \pm \sqrt{\boldsymbol{k}^2 + m^2} \label{KGomega} \tag{3.9}\end{align}\] が成り立つ。つまり、正負2つの振動数を持つ解が存在する。

以下では\(\omega\)は常に正とし、 正の振動数の解を\[\begin{align} \phi(x) = C e^{i k_\mu x^\mu} \tag{3.10}\end{align}\] 負の振動数の解を\[\begin{align} \phi(x) = C e^{-i k_\mu x^\mu} \tag{3.11}\end{align}\] と書く。

3-3.　電磁場中のクラインゴルドン方程式

粒子が電荷\(q\)を持つとき、\(\partial_\mu \to \partial_\mu - i q A_\mu\)の置き換えに従うと、 電磁場中におけるクラインゴルドン方程式は、\[\begin{align} \left( \eta^{\mu\nu} \left( \partial_\mu - i q A_\mu \right) \left( \partial_\nu - i q A_\nu \right) - m^2 \right) \phi(x) = 0 \label{KGeq2} \tag{3.12}\end{align}\] と書き換えられる。

3-4.　非相対論的極限と反粒子

クライン・ゴルドン方程式の正の振動数の解と負の振動数の解の物理的意味を明らかにするため、電磁場との相互作用を含めた非相対論的極限を考える。

まず、正の振動数の解に注目する。 電磁場がなく粒子が静止(\(\boldsymbol{k} = 0\))しているとき、\[\begin{align} \phi(x) = C e^{- i m t} \tag{3.13}\end{align}\] となる。 運動エネルギーや電磁場によるポテンシャルエネルギーが静止エネルギーに比べて非常に小さい場合、 この解からのズレも小さいと考えられる。そこで、新しい関数 \(\varphi(x)\)を導入し、\[\begin{align} \phi(x) = \varphi(x) e^{-imt}, \tag{3.14}\end{align}\] と書く。 これを電磁場中のクライン・ゴルドン方程式に代入すると、\[\begin{align} & \left( \eta^{\mu\nu} \left( - i m \delta_{0\mu} + \partial_\mu - i q A_\mu \right) \left( - i m \delta_{0\nu} + \partial_\nu - i q A_\nu \right) - m^2 \right) \varphi(x) = 0 \nonumber \\ &\leftrightarrow \left( 2 i m \left( \partial_0 - i q A_0 \right) - \left( \partial_0 - i q A_0 \right)^2 + \sum_i \left( \partial_i - i q A_i \right)^2 \right) \varphi(x) = 0 \nonumber \\ \tag{3.15}\end{align}\] となる。ここで、\(\left( \partial_0 - i q A_0 \right)^2\)の項が小さいとして無視すると、\[\begin{align} i \frac{\partial}{\partial t} \varphi= \left[ - \frac{1}{2m} \left( \boldsymbol{\nabla} - i q \boldsymbol{A} \right)^2 + q \Phi \right] \varphi, \tag{3.16}\end{align}\] となり、スピン0の粒子の電磁場中のシュレディンガー方程式に帰着する。 この結果から、\(\left( i \partial_0 + q A_0 \right)\)は粒子の運動エネルギー\(m \boldsymbol{v}^2/2\)と同程度であり、\(\left( \partial_0 - i q A_0 \right)^2\)は非相対論的極限で高次の項となるため無視できることがわかる。

次に、負の振動数の解について考える。新しい関数\(\chi(x)\)を導入し、\[\begin{align} \phi(x) = \chi^*(x) e^{imt} \tag{3.17}\end{align}\] とすると、非相対論的極限におけるクライン・ゴルドン方程式は\[\begin{align} i \frac{\partial}{\partial t} \chi = \left[ - \frac{1}{2m} \left( \boldsymbol{\nabla} + i q \boldsymbol{A} \right)^2 - q \Phi \right] \chi, \tag{3.18}\end{align}\] という形になる。¹³ つまり、クラインゴルドン方程式の負の振動数の解は、電荷が逆で質量が同じ粒子の波動関数の複素共役となっている。 このような粒子を反粒子と呼ぶ。

3-5.　電荷の流れ

クライン・ゴルドン方程式の解\(\phi(x)\)に確率解釈が成り立つかを考える。

相対論では、ローレンツ・ブーストによって空間の長さが収縮するため、電荷密度は変化する。 一方、非相対論的量子力学で確率密度と考えていた\(\left\vert {\phi(x)} \right\vert^2\)はスカラー量であり、 ローレンツ・ブーストによって変化しない。そのため、\(\left\vert {\phi(x)} \right\vert^2\)を単純に粒子密度と解釈することには疑問が残る。 さらに、この量は連続の式を満たさない。

しかし、次の量を定義すると、それは連続の式を満たすことがわかる。[check]\[\begin{align} \rho = \frac{iq}{2m} \left[ \phi^* \frac{\partial\phi}{\partial t} - \frac{\partial\phi^*}{\partial t} \phi \right], \\ \boldsymbol{j} = \frac{-iq}{2m} \left[ \phi^* \nabla\phi - (\nabla\phi^*) \phi \right], \tag{3.19}\end{align}\] ここで、簡単のため電磁場は無視した。 これらは電荷の流れの4元ベクトル\(j^\mu = (\rho, \boldsymbol{j})\)を用いて\[\begin{align} j_\mu = \frac{-iq}{2m} \left[ \phi^* \partial_\mu \phi - (\partial_\mu \phi^*) \phi \right], \tag{3.20}\end{align}\] の形にまとまる。実際、これはローレンツ変換に対して共変ベクトルとして変換する。 ¹⁴

\(\phi(x) = \varphi(x) e^{- i m t}\)として非相対論的極限をとると、\(\rho\)は\[\begin{align} \rho(x) \simeq q \left\vert {\varphi(x)} \right\vert^2 , \tag{3.21}\end{align}\] となる。 反粒子に関しては \(\phi(x) = \chi^*(x) e^{ i m t}\)とすると、\[\begin{align} \rho(x) \simeq -q \left\vert {\chi(x)} \right\vert^2 , \tag{3.22}\end{align}\] となり、符号が反転する。 したがって、\(\rho(x)\)は電荷密度と解釈できる。 非相対論的量子力学では\(\rho(x) \equiv |\varphi(x)|^2\) は位置\(\boldsymbol{x}\)に粒子を見出す確率密度として解釈された。しかし、ここでは電荷を含めるように新たに定義され、 \(\rho(x)\)は位置\(\boldsymbol{x}\)における粒子または反粒子の電荷密度として理解される。 ¹⁵¹⁶

クライン・ゴルドン方程式の解は運動量\(\boldsymbol{k}\)を固定しても二つの異なる解が存在し、 それらを含めて完全系をなす。エネルギー固有状態では正負の振動数の解は混ざらないが、 一般の状態では時間発展によって混ざり合う。このとき、両方の振動数の解を考慮することで 初めて\(\rho(x)\)が連続の式を満たし、全電荷が保存される。 そのため、負の振動数の解にも物理的な意味があり、正の振動数の解のみを取り出すことは許されない。

ただし、エネルギー固有状態を考える限り、これらの解が混ざることはなく、負の振動数の解を特に意識する必要はない。 逆に、エネルギー固有状態として負の振動数の成分のみを取り出すことも可能であり、これは反粒子が一つ存在する状態を表す。 このように、相対論的量子力学では一般に反粒子の存在が予言される。

スピン0の粒子としては、ヒッグス粒子やパイ中間子があるが、安定または長寿命なものはほとんど存在しない。 また、スピン0の粒子はボソンであり、多数が同一状態に集まることができる。 このため、スピン0の粒子に関しては、1体系よりもむしろ、古典的および量子論的な場の理論において興味深い現象が現れる。 そこで、クライン・ゴルドン方程式に従うスピン0の粒子の1体系をこれ以上詳しく追究せず、次にスピン1/2の粒子の考察に移ることとする。

3-6.　場の理論からの補足

クライン・ゴルドン方程式の解には、正の振動数の解と負の振動数の解があり、前者は粒子の波動関数、後者は反粒子の波動関数の複素共役となる。反粒子の解に複素共役がつく理由は、場の理論を学ぶことで理解できる。

ここでは、\(k x \equiv k_\mu x^\mu\)という記法を用いる。

場の理論では、クライン・ゴルドン方程式に従う演算子の場\(\hat{\phi}(x)\)を考える。¹⁷ クライン・ゴルドン方程式の解は\(k^0 = \sqrt{\boldsymbol{k}^2 + m^2}\)を満たす\(e^{ikx}\)および\(e^{-ikx}\)であるため、 \(\hat{\phi}(x)\)は次のように展開できる。\[\begin{align} \hat{\phi}(x) = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3 2 \omega} \left[ \hat{a}(\boldsymbol{k}) e^{ikx} + \hat{b}^\dagger (\boldsymbol{k}) e^{-ikx} \right]_{k^0 = \sqrt{\boldsymbol{k}^2 + m^2}}, \tag{3.23}\end{align}\] 第一項が正の振動数の解、第二項が負の振動数の解に対応する。

ここで、“展開係数"\(\hat{a}(\boldsymbol{k})\)は運動量\(\boldsymbol{k}\)をもつ粒子を消滅させる演算子、\(\hat{b}^\dagger (\boldsymbol{k})\)は運動量\(\boldsymbol{k}\)をもつ反粒子を生成する演算子とみなす。 このように考えると、\(\hat{\phi}(x)\)は位置\(x\)に粒子を消滅させ、反粒子を生成する効果の両方を含む。電荷に注目すると、\(\hat{\phi}(x)\)はどちらにせよ電荷を\(q\)だけ減らす作用をもつ。

また、エルミート共役\(\hat{\phi}^\dagger(x)\)は\[\begin{align} \hat{\phi}^\dagger(x) = \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3 2 \omega} \left[ \hat{a}^\dagger(\boldsymbol{k}) e^{-ikx} + \hat{b} (\boldsymbol{k}) e^{ikx} \right], \tag{3.24}\end{align}\] となり、 粒子を生成し反粒子を消滅させる効果の両方を持つ。 これはどちらも電荷を\(q\)だけ増やす作用に対応する。

真空状態\(\left| 0 \right>\)に粒子を生成する演算子\(\hat{a}^\dagger(\boldsymbol{k})\)を作用させると、 運動量\(\boldsymbol{k}\)を持つ1粒子状態\(\left| \phi_{\boldsymbol{k}} \right> \equiv \hat{a}^\dagger(\boldsymbol{k}) \left| 0 \right>\)が得られる。 このとき、1粒子状態の波動関数は\[\begin{align} \phi(x) = \left< 0 \right| \hat{\phi}(x) \left| \phi_{\boldsymbol{k}} \right> \tag{3.25}\end{align}\] という量に対応する。 非相対論的な量子力学のように、位置\(\boldsymbol{x}\)に粒子が存在する状態を\(\left| \boldsymbol{x} \right>\)とすると、\[\begin{align} \left< 0 \right| \hat{\phi}(x) = e^{-i\omega t}\left< \boldsymbol{x} \right| \tag{3.26}\end{align}\] もしくは\[\begin{align} \hat{\phi}^\dagger (x) \left| 0 \right> = e^{i\omega t} \left| \boldsymbol{x} \right> \tag{3.27}\end{align}\] と考えられる。 すると、時間発展の因子\(e^{-i\omega t}\)を状態に押しつけるシュレーディンガー描像では、\(\left| \phi_{\boldsymbol{k}}(t) \right> = e^{-i \omega t} \left| \phi_{\boldsymbol{k}} \right>\)となるため、\[\begin{align} \phi(x) = \left< \boldsymbol{x} \right. \left| \phi_{\boldsymbol{k}}(t) \right> \tag{3.28}\end{align}\] のように見慣れた形になる。¹⁸¹⁹

同様に、真空\(\left| 0 \right>\)に反粒子を生成する演算子\(\hat{b}^\dagger(\boldsymbol{k'})\)を作用させると、 運動量\(\boldsymbol{k'}\)を持つ反粒子の1体状態\(\left| \chi_{\boldsymbol{k'}} \right> \equiv \hat{b}^\dagger(\boldsymbol{k'}) \left| 0 \right>\)が得られる。このとき、反粒子の波動関数は\[\begin{align} \chi(x) = \left< 0 \right| \hat{\phi}^\dagger(x) \left| \chi_{\boldsymbol{k'}} \right> \tag{3.29}\end{align}\] という量に対応し、その複素共役は\[\begin{align} \chi^*(x) = \left< \chi_{\boldsymbol{k'}} \right| \hat{\phi}(x) \left| 0 \right> \tag{3.30}\end{align}\] となる。\(\hat{\phi}(x)\)がクライン・ゴルドン方程式を満たすので、\(\chi^*(x)\)も同じ方程式を満たす。

本質的に、場の演算子\(\hat{\phi}(x)\)がクライン・ゴルドン方程式を満たすことが重要であり、その帰結として1体状態の波動関数も同じ式を満たす。ただし、\(\hat{\phi}(x)\)は粒子を消滅させ、反粒子を生成するという逆の効果を持つため、反粒子の波動関数には複素共役がつく。

4.　ディラック方程式

クライン・ゴルドン方程式に従う関数\(\phi(x)\)はローレンツ変換に対してスカラー場として振る舞うため、スピン0の粒子の波動関数を表す。しかし、非相対論的な量子力学では、電子にはスピンという内部自由度が2つあることを学んだ。つまり、スピン\(1/2\)の粒子の時間発展を記述するには、多成分の波動関数を満たす方程式を考えなければならない。

そこで、試しに\(n\)成分の波動関数を導入する。 このとき、波動関数が満たすべき方程式やハミルトニアンは\(n \times n\)行列の形式をとる。さらに、自由度を増やしたことで時間微分の階数を下げ、新しい形の方程式をローレンツ共変にすることが可能となる。それがディラック方程式である。

4-1.　ディラック方程式

質量をもつ粒子の記述には\(n=4\)が最小であることが知られている。そこで、最初からこのケースを考えよう。4成分をもつ波動関数\(\psi\)に対して、ローレンツ共変かつ時間微分が一次の方程式を求める。ただし、エネルギーと運動量の関係式 \(E^2 = m^2 + p^2\)も満たすようにする。すなわち、方程式の解がクライン・ゴルドン方程式も満たす必要がある。

まず、一次の微分方程式としてローレンツ共変な形を期待し、\(\partial_\mu\)を含む形を考える。そして、ローレンツ添え字を縮約するために定数行列\(\gamma^\mu\)を導入する。\(\psi\)が4成分をもつため、\(\gamma^\mu\)は各\(\mu = 0,1,2,3\)に対して異なる\(4 \times 4\)行列とする。これらを用いて、次の形の方程式を考えてみる。\[\begin{align} \left( i \gamma^\mu \partial_\mu - m I_{4}\right) \psi(x) = 0, \label{Dirac-eq} \tag{4.1}\end{align}\] ここで、\(I_{4}\)は\(4\times 4\)単位行列であり、\(m\)は粒子の質量を表す。²⁰

クライン・ゴルドン方程式との関係を見るため、両辺に\((i \gamma^\nu \partial_\nu + m I_{4})\)を左から作用させると、\[\begin{align} (-\gamma^\nu \partial_\nu \gamma^\mu \partial_\mu - m^2 I_{4}) \psi = 0, \tag{4.2}\end{align}\] となる。したがって、次の条件を満たすように\(\gamma^\mu\)を選べば、\(\psi\)の4成分それぞれがクライン・ゴルドン方程式も満たすことになる。 ²¹\[\begin{align} -\gamma^\nu \partial_\nu \gamma^\mu \partial_\mu =\eta^{\mu\nu} I_{4}\partial_\mu \partial_\nu \label{gamma-def1} \tag{4.3}\end{align}\] \(\gamma^\mu\)は定数行列なので、上記の条件は次のように書き換えられる。\[\begin{align} \{ \gamma^\mu, \gamma^\nu\} \equiv \gamma^\mu \gamma^\nu + \gamma^\nu \gamma^\mu = - 2 \eta^{\mu\nu}, \label{defgamma} \tag{4.4}\end{align}\] この条件を満たす代数はクリフォード代数と呼ばれる。

4-2.　ハミルトニアン

\(\gamma^\mu\)の性質を調べる前に、ディラック方程式からハミルトニアンの形を求めておく。ディラック方程式に左から\(\gamma^0\)をかけると、\[\begin{align} \left( i I_{4}\partial_0 + i \gamma^0 \gamma^i \partial_i - \gamma^0 m \right) \psi = 0, \tag{4.5}\end{align}\] となる。 ここで、波動関数と運動量演算子\(\hat{p}^\mu\)の関係²²\[\begin{align} \left<x \vert \hat{p}^\mu|\psi \right> = -i \eta^{\mu\nu} \partial_\nu \psi(x) \tag{4.6}\end{align}\] を用いると、ハミルトニアンが\[\begin{align} \hat{H} = \gamma^0 (\boldsymbol{\gamma} \cdot \hat{\boldsymbol{p}} + m I_{4}), \tag{4.7}\end{align}\] と得られる。²³

ハミルトニアンはエルミートである必要があるため、\[\begin{align} & \left( \gamma^0 \right)^\dagger = \gamma^0, \\ & \left( \gamma^0 \gamma^i \right)^\dagger = \gamma^0 \gamma^i \tag{4.8}\end{align}\] でなければならない。ここで、([defgamma])から\(\gamma^0 \gamma^i = - \gamma^i \gamma^0\)であることを用いると、\[\begin{align} & \left( \gamma^0 \right)^\dagger = \gamma^0, \\ & \left( \gamma^i \right)^\dagger = - \gamma^i \tag{4.9}\end{align}\] となる。つまり、 \(\gamma^0\)はエルミート行列、\(\gamma^i\)は反エルミート行列でなければならないことがわかる。

4-3.　ディラック共役と電荷の流れ

ディラック共役\(\bar{\psi}\)は\(\psi^\dagger\)の代わりによく用いられる量であり、次のように定義される。\[\begin{align} \bar{\psi} \equiv \psi^\dagger \gamma^0 \tag{4.10}\end{align}\] また、電荷の流れを次のように定義する。\[\begin{align} &j^\mu \equiv q \bar{\psi} \gamma^\mu \psi \tag{4.11}\end{align}\] このとき、ディラック方程式の解は連続の式\(\partial_\mu j^\mu = 0\)を満たすことがわかる。[check]²⁴

4-4.　具体的な\(\gamma\)行列の例

\(\gamma\)行列は、条件\(\{ \gamma^\mu, \gamma^\nu\} = - 2 \eta^{\mu\nu}\)を満たすように構成する。この条件は具体的には次のように表される。\[\begin{align} &(\gamma^0)^2 = I_{4} \\ &(\gamma^i)^2 = -I_{4} \\ &\gamma^\mu \gamma^\nu = - \gamma^\nu \gamma^\mu \quad \mathrm{for} \quad \mu \ne \nu \tag{4.12}\end{align}\] 特に、最後の式に\(\gamma^\nu\)をかけてトレースを取ると、\(\mathrm{ Tr}[\gamma^\mu] = 0\)が導かれる。さらに、\((\gamma^0)^2 = I_{4}\)より、固有値は\(\pm 1\)のみが許される。これにより、行列の次数\(n\)は偶数でなければならないことがわかる。\(n=2\)ではクリフォード代数を満たすような\(\mu=0,1,2,3\)の4つの行列を構成できないため、\(n=4\)が最小の行列の組みとなることが知られている。 ²⁵

例えば、パウリ行列\(\sigma_i\)を用いると、\[\begin{align} &\gamma^0 = \begin{pmatrix} I_{2}& 0 \\ 0 & -I_{2} \end{pmatrix} \\ &\gamma^i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_i \\ -\sigma_i & 0 \end{pmatrix} \tag{4.13}\end{align}\] が条件\(\{ \gamma^\mu, \gamma^\nu\} = - 2 \eta^{\mu\nu}\)を満たすことは容易に確認できる。この表現の\(\gamma\)行列はDirac-Pauli表示と呼ばれる。 また、\(\gamma^0\)はエルミート行列、\(\gamma^i\)は反エルミート行列であることも確かめられる。

あるユニタリー行列\(U\)を用いて\(\gamma\)行列を\(U^\dagger \gamma^\mu U\)のように変換しても、 交換関係の([defgamma])は変わらず満たす。したがって、\(\gamma\)行列の具体的な形は無限に存在する。 実際には、考えている問題に応じて適切な表示を選ぶとよい。例えば、粒子が相対論的なエネルギーを持つ場合は、次のようなワイル表示が便利である。\[\begin{align} &\gamma^{0}=\left(\begin{array}{cc} 0 & I_{2}\\ I_{2}& 0 \end{array}\right), \\ &\gamma^{i}=\left(\begin{array}{cc} 0 & \sigma_{i} \\ -\sigma_{i} & 0 \end{array}\right) \tag{4.14}\end{align}\] 一方、Dirac-Pauli表示は非相対論的極限をとる際に見通しが良くなる。

5.　ローレンツ共変性

5-1.　ディラックスピノル

ディラック方程式の\(\gamma\)行列は、それぞれ定数の行列であり、\(\mu = 0,1,2,3\)の4つをまとめて表記したものである。そのため、ローレンツ変換によって変換されることはない。したがって、\(\gamma^\mu\)は添字\(\mu\)に関して反変ベクトルではなく、特に\(\gamma^\mu \partial_\mu\)がローレンツ不変でないことに注意する。

以上を踏まえ、ディラック方程式のローレンツ共変性を確かめる。 ディラック方程式に従う波動関数\(\psi(x)\)は4成分を持つため、ローレンツ変換によってその成分が混ざって変換されると考えられる。これは、座標の回転によってベクトルの成分が回転したり、スピンが混ざり合うことに対応する。 そこで、ローレンツ変換\(x'^\mu = \Lambda^\mu_{\ \nu} x^\nu\)を考えたとき、波動関数は次のように変換されると仮定する。\[\begin{align} \psi(x) \to \psi'(x') \equiv U(\Lambda) \psi(x) \tag{5.1}\end{align}\] ここで、\(U(\Lambda)\)はローレンツ変換ごとに決まる\(4\times 4\)行列である。 ローレンツ変換は\(\Lambda^\mu_{\ \nu}\)を決めることで一意に決まる。それに伴って\(U(\Lambda)\)も一意に決まるという意味で\(U\)に\(\Lambda\)の引数をつけている。

座標変換後のディラック方程式は、次のようになる。\[\begin{align} \left( i \gamma^\mu \Lambda_\mu^{\ \nu} \partial_\nu - m I_{4}\right) U(\Lambda) \psi(x) = 0 \tag{5.2}\end{align}\] ここで、\(\partial_\mu' = \Lambda_\mu^{\ \nu} \partial_\nu\)を用いた。 この式に左から\(U(\Lambda)^{-1}\)をかけると\[\begin{align} \left( i U(\Lambda)^{-1} \gamma^\mu U(\Lambda) \Lambda_\mu^{\ \nu} \partial_\nu - m I_{4}\right) \psi(x) = 0 \tag{5.3}\end{align}\] となる。したがって、 \(\Lambda^\mu_{\ \alpha} \Lambda_{\mu}^{\ \nu} = \delta^\nu_\alpha\)を用いると、次の条件が得られる。\[\begin{align} U(\Lambda)^{-1} \gamma^\mu U(\Lambda) = \Lambda^{\mu}_{\ \alpha} \gamma^\alpha \tag{5.4}\end{align}\] これが成り立てばディラック方程式は元の形に戻り、ローレンツ共変となる。 ²⁶ 以下ではこの条件を満たす\(U(\Lambda)\)を求める。

5-2.　無限小ローレンツ変換

\(U(\Lambda)\)を求めるために、無限小ローレンツ変換を考える。\[\begin{align} \Lambda^{\mu}{ }_{\nu}=\delta^{\mu}{ }_{\nu}+\delta \omega^{\mu}{ }_{\nu} \tag{5.5}\end{align}\] ここで、\(\left|\delta \omega^{\mu}{ }_{\nu}\right| \ll 1\)とし、高次の項は無視する。 ローレンツ変換の条件 \(\eta_{\mu \nu} \Lambda^{\mu}{ }_{\alpha} \Lambda^{\nu}{ }_{\beta}=\eta_{\alpha \beta}\)より、 \(\delta \omega^{\mu}{ }_{\nu}\)は次の関係を満たす。\[\begin{align} \eta_{\mu \beta} \delta \omega^{\mu}{}_{\nu} +\eta_{\nu \alpha} \delta \omega^{\alpha}{}_{\beta}=0 \tag{5.6}\end{align}\] ここで、便宜上\(\delta \omega_{\alpha \beta} \equiv \eta_{\alpha \mu} \delta \omega^{\mu}{}_{\beta}\)と定義すると、\[\begin{align} \delta \omega_{\beta \nu} = -\delta \omega_{\nu \beta} \tag{5.7}\end{align}\] となり、添字に関して反対称でなければならないことがわかる。 このため、\(\delta \omega_{\mu\nu}\)を以下のように書くことができる。\[\begin{align} \delta \omega_{\mu\nu}=\left(\begin{array}{cccc} 0 & -\eta_{1} & -\eta_{2} & -\eta_{3} \\ \eta_{1} & 0 & \theta_{3} & -\theta_{2} \\ \eta_{2} & -\theta_{3} & 0 & \theta_{1} \\ \eta_{3} & \theta_{2} & -\theta_{1} & 0 \end{array}\right) \tag{5.8}\end{align}\] もしくは、\[\begin{align} \delta \omega_{\nu}^{\mu}=\left(\begin{array}{cccc} 0 & \eta_{1} & \eta_{2} & \eta_{3} \\ \eta_{1} & 0 & \theta_{3} & -\theta_{2} \\ \eta_{2} & -\theta_{3} & 0 & \theta_{1} \\ \eta_{3} & \theta_{2} & -\theta_{1} & 0 \end{array}\right) \tag{5.9}\end{align}\] である。ここで、\(\eta_i\)はローレンツブーストのrapidity、\(\theta_i\)は空間回転のパラメーターに対応する。

このとき、\(U(\Lambda)\)を無限小パラメーター\(\delta \omega_{\mu\nu}\)について展開すると、\[\begin{align} U(\Lambda)=I_{4} + \frac{i}{4} \delta \omega_{\mu \nu} \sigma^{\mu \nu} \tag{5.10}\end{align}\] と書ける。ここで、\(\sigma^{\mu\nu}\)はそれぞれの\(\mu\nu\)に対して\(4\times4\)行列であり、ローレンツ添字に関して反対象\(\sigma^{\mu\nu} = - \sigma^{\nu\mu}\)であるとする。 また、\(U(\Lambda)\)の逆行列は、\(\delta \omega_{\mu \nu}\)が微小であることに注意すると、\[\begin{align} U^{-1}(\Lambda)=I_{4} - \frac{i}{4} \delta \omega_{\mu \nu} \sigma^{\mu \nu} \tag{5.11}\end{align}\] と書ける。

\(\sigma^{\mu\nu}\)は、 条件\(U(\Lambda)^{-1} \gamma^\mu U(\Lambda) = \Lambda^{\mu}_{\ \alpha} \gamma^\alpha\)が満たされるように決める。 この条件の両辺をそれぞれ計算していくと、\[\begin{align} \left(I_{4}-\frac{i}{4} \delta \omega_{\alpha \beta} \sigma^{\alpha \beta}\right) \gamma^{\mu}\left(I_{4}+\frac{i}{4} \delta \omega_{\sigma \rho} \sigma^{\sigma \rho}\right) &= \gamma^{\mu}+\delta \omega^{\mu}{ }_{\nu} \gamma^{\nu} \\ \leftrightarrow \quad -\frac{i}{4} \delta \omega_{\alpha \beta} \sigma^{\alpha \beta} \gamma^{\mu}+\frac{i}{4} \gamma^{\mu} \delta \omega_{\alpha \beta} \sigma^{\alpha \beta} &= \delta \omega^{\mu}{ }_{\nu} \gamma^{\nu} \\ \leftrightarrow \quad -\frac{i}{4} \delta \omega_{\alpha \beta}\left[\sigma^{\alpha \beta}, \gamma^{\mu}\right] &= \frac{1}{2} \delta \omega_{\alpha \beta} \left( \eta^{\mu \alpha} \gamma^{\beta} - \eta^{\mu \beta} \gamma^{\alpha} \right) \tag{5.12}\end{align}\] となる。 ここで、最後の等式では右辺の括弧の中身を添字\(\alpha \beta\)について反対称になるように書き換えた。 したがって、任意の反対称なパラメーター\(\delta \omega_{\alpha \beta}\)に対してこの等式が成り立つためには、\[\begin{align} \left[\sigma^{\alpha \beta}, \gamma^{\mu}\right]=2 i \eta^{\mu \alpha} \gamma^{\beta} - 2 i \eta^{\mu \beta} \gamma^{\alpha} \label{eq:sigma12} \tag{5.13}\end{align}\] となる必要がある。

([eq:sigma12])の条件は、\(\sigma^{\alpha\beta}\)が以下の形であれば満たすことができる。 ²⁷\[\begin{align} \sigma^{\alpha \beta}=\frac{i}{2}\left[\gamma^{\alpha}, \gamma^{\beta}\right] \label{eq:sigmaab} \tag{5.14}\end{align}\] これを\(\left[\sigma^{\alpha \beta}, \gamma^{\mu}\right]\)に代入すると、確かに\[\begin{align} \left[\sigma^{\alpha \beta}, \gamma^{\mu}\right] &= \frac{i}{2} \gamma^{\alpha} \gamma^{\beta} \gamma^{\mu}-\frac{i}{2} \gamma^{\beta} \gamma^{\alpha} \gamma^{\mu}-\frac{i}{2} \gamma^{\mu} \gamma^{\alpha} \gamma^{\beta}+\frac{i}{2} \gamma^{\mu} \gamma^{\beta} \gamma^{\alpha} \nonumber\\ & =\frac{i}{2} \gamma^{\alpha}\left(-2 \eta^{\beta \mu}-\gamma^{\mu} \gamma^{\beta}\right)-\frac{i}{2} \gamma^{\beta}\left(-2 \eta^{\alpha \mu}-\gamma^{\mu} \gamma^{\alpha}\right) \nonumber \\ &\quad -\frac{i}{2}\left(-2 \eta^{\alpha \mu}-\gamma^{\alpha} \gamma^{\mu}\right) \gamma^{\beta}+\frac{i}{2}\left(-2 \eta^{\beta \mu}-\gamma^{\beta} \gamma^{\mu}\right) \gamma^{\alpha} \nonumber\\ & = -2 i \eta^{\mu \beta} \gamma^{\alpha}+2 i \eta^{\mu \alpha} \gamma^{\beta} \tag{5.15}\end{align}\] となり、条件を満たす。

具体的には、パウリ・ディラック表示で、\[\begin{align} &\sigma^{i j} = \sum_k \epsilon^{ijk} \Sigma^k \\ &\sigma^{0 i}=-\sigma^{i0} =\left(\begin{array}{cc} 0 & i \sigma^{i} \\ i \sigma^{i} & 0 \end{array}\right) . \tag{5.16}\end{align}\] となる。ここで、\[\begin{align} \Sigma^{i} \equiv \left(\begin{array}{cc} \sigma^{i} & 0 \\ 0 & \sigma^{i} \end{array}\right) \tag{5.17}\end{align}\] を定義した。

5-3.　有限のローレンツ変換

有限のローレンツ変換は、\(N\)分割して無限小変換\(\delta \omega^{\mu}{ }_{\nu} = \omega^{\mu}{ }_{\nu}/N\)を繰り返し適用することで、²⁸\[\begin{align} \Lambda^{\mu}{}_{\nu} &= \lim _{N \rightarrow \infty}\left(\delta^{\mu}{ }_{\mu_{1}}+\delta \omega^{\mu}{ }_{\mu_{1}}\right)\left(\delta^{\mu_{1}}{ }_{\mu_{2}}+\delta \omega^{\mu_{1}}{ }_{\mu_{2}}\right) \cdots\left(\delta^{\mu_{N-1}}{}_{\nu}+\delta \omega^{\mu_{N-1}}{ }_{\nu}\right) \\ &= \left(e^{\omega}\right)^{\mu}{}_{\nu} \tag{5.18}\end{align}\] と表される。このとき、\[\begin{align} U(\Lambda)=\exp \left(\frac{i}{4} \omega_{\mu \nu} \sigma^{\mu \nu}\right) \label{eq:Ulambda} \tag{5.19}\end{align}\] が成り立つ。

例として、\(z\)軸周りの空間回転\(\theta_3\)を考えると、\[\begin{align} \Lambda^\mu{}_\nu &= \left(\begin{array}{cccc} 1 & & & \\ & \cos \theta &\sin \theta & \\ & - \sin \theta& \cos \theta & \\ & & & 1 \end{array}\right) \\ &\simeq \left(\begin{array}{cccc} 1 & & & \\ & 1 & \theta & \\ & - \theta& 1 & \\ & & & 1 \end{array}\right) \tag{5.20}\end{align}\] より、 \(\omega^1{}_2 = - \omega^2{}_1 = \theta\)である。 これにより、\[\begin{align} U(\Lambda)&=\exp \left(\frac{i}{4} 2 \times \omega_{12} \sigma^{12}\right) \\ &= \exp \left(i \theta \frac{\Sigma^3}{2} \right) \label{eq:zspin} \tag{5.21}\end{align}\] となる。したがって、4成分の波動関数\(\psi\)の上2成分と下2成分は、それぞれスピン\(1/2\)のように変換することがわかる。つまり、ディラック方程式の解はスピン\(1/2\)の粒子と関係していることがわかる。

5-4.　\(\gamma\)行列の双一次形式とローレンツ変換性

ディラック共役\[\begin{align} \bar{\psi}(x) \equiv \psi^\dagger(x) \gamma^0, \tag{5.22}\end{align}\] を定義すると、 これはローレンツ変換の下で\[\begin{align} \bar{\psi}(x) \to \bar{\psi}' (x') &= \psi^\dagger (x) \gamma^0 \gamma^0 U^\dagger(\Lambda) \gamma^0 \\ &= \bar{\psi}(x) U^{-1}(\Lambda) \tag{5.23}\end{align}\] と変換する。 ここで、\[\begin{align} \gamma^0 U^\dagger(\Lambda) \gamma^0 = U^{-1}(\Lambda) \tag{5.24}\end{align}\] を用いた。

これにより、 \(\bar{\psi} \psi\)はスカラー、\(\bar{\psi}\gamma^\mu \psi\)はベクトルとして変換することがわかる。[check] 特に、確率の流れ\(j^\mu\)もベクトルとして変換する。したがって、連続の式\(\partial_\mu j^\mu = 0\)もローレンツ共変な式であることが確認できる。

6.　ディラック方程式の解

6-1.　一般的な固有状態の解

クライン・ゴルドン方程式と同様に、ディラック方程式にも正の振動数を持つ解と負の振動数を持つ解の両方が存在する。 一般に、運動量およびスピンの固有状態に対する正の振動数の解は\[\begin{align} \psi(x) = u_s(\boldsymbol{k}) e^{ik_\mu x^\mu} \tag{6.1}\end{align}\] 負の振動数の解は、\[\begin{align} \psi(x) = v_s(\boldsymbol{k}) e^{-ik_\mu x^\mu} \tag{6.2}\end{align}\] と表される。²⁹ ここで、スピン固有状態を区別するラベルとして\(s=\pm\)を導入した。

ディラック方程式の解はクライン・ゴルドン方程式も満たすため、\(k^2 = - m^2\)が成り立つ。 正および負の振動数の解の両方に対して、\(\omega \equiv k^0\)の符号は\[\begin{align} &\omega \equiv k^0 = \sqrt{m^2 + \boldsymbol{k}^2} \tag{6.3}\end{align}\] となるように定める。

この解をディラック方程式に代入すると、次の関係が得られる。\[\begin{align} &(\gamma^\mu k_\mu + m I_{4}) u_s(\boldsymbol{k}) = 0 \\ &(-\gamma^\mu k_\mu + m I_{4}) v_s(\boldsymbol{k}) = 0 \tag{6.4}\end{align}\] ここで、 \(u_s(\boldsymbol{k})\)および\(u_s(\boldsymbol{k})\)はディラックスピノールと呼ばれる。 以下では、ディラックスピノールの規格直交条件として、\[\begin{align} u_s^\dagger (\boldsymbol{k}) u_{s'}(\boldsymbol{k}) = 2 k^0 \delta_{ss'} \\ v_s^\dagger (\boldsymbol{k}) v_{s'}(\boldsymbol{k}) = 2 k^0 \delta_{ss'} \tag{6.5}\end{align}\] を採用する。

ディラックスピノールの具体的な形はガンマ行列の表現に依存する点に注意する。本章ではディラック・パウリ表示を用いる。

6-2.　静止している場合

\(\nabla \psi = 0\)の場合のディラック方程式の解を求める。 これは運動量\(\boldsymbol{k}\)が\(0\)で粒子が静止している場合に対応する。 このとき、自由場のディラック方程式は\[\begin{align} i \frac{\partial \psi}{\partial t}= m \gamma^0 \psi \tag{6.6}\end{align}\] となる。パウリ・ディラック表示では\(\gamma^0 = \mathrm{ diag}(1,1,-1,-1)\)である。

正の振動数の解は\(\psi = u_s(\boldsymbol{0}) e^{-imt}\)、負の振動数の解は\(\psi = v_s(\boldsymbol{0}) e^{imt}\)として、\[\begin{align} \begin{array}{ll} u_+ (\boldsymbol{0}) = \sqrt{2m} \left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right), & u_- (\boldsymbol{0}) = \sqrt{2m} \left(\begin{array}{l} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \vspace{0.2cm} \\ v_- (\boldsymbol{0})= \sqrt{2m} \left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right), & v_+ (\boldsymbol{0}) = \sqrt{2m} \left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right) \end{array} \tag{6.7}\end{align}\] が得られる。

\(z\)軸を中心とする座標回転に対する変換性の([eq:zspin])から、これらが\(z\)軸方向のスピンの固有状態であることもわかる。 ³⁰

6-3.　\(z\)方向に運動している場合

次に、\(z\)方向に運動量\(k_z\)を持つ解を求める。 正の振動数の解を\(\psi(x) = u_s (\boldsymbol{k}) e^{- i \omega t + i k_z z}\)とし、\[\begin{align} u_s (\boldsymbol{k}) =\left(\begin{array}{l} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \\ c_{4} \end{array}\right) \tag{6.8}\end{align}\] とおくと、ディラック方程式は次の形になる。\[\begin{align} \left(\begin{array}{cccc} \omega-m & & -k_{z} & \\ & \omega-m & & k_{z} \\ k_{z} & & -\omega-m & \\ & -k_{z} & & -\omega-m \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \\ c_{4} \end{array}\right)=0 \tag{6.9}\end{align}\] この行列方程式は、第一成分と第三成分のペア、および第二成分と第四成分のペアに分割できる。 ³¹\[\begin{align} \left(\begin{array}{cc} \omega-m & -k_{z} \\ k_{z} & -\omega-m \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} c_{1} \\ c_{3} \end{array}\right)=0 \\ \left(\begin{array}{cc} \omega-m & k_{z} \\ -k_{z} & -\omega-m \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} c_{2} \\ c_{4} \end{array}\right)=0 \tag{6.10}\end{align}\] したがって、運動量とスピンの固有状態は\[\begin{align} &u_+ (k_z \boldsymbol{e}_z) = \sqrt{ \frac{2\omega}{(\omega+m)^2 + k_z^2}} \left(\begin{array}{c} \omega+m \\ 0 \\ k_{z} \\ 0 \end{array} \right), \vspace{0.2cm} \\ & u_- (k_z \boldsymbol{e}_z) = \sqrt{ \frac{2\omega}{(\omega+m)^2 + k_z^2} } \left(\begin{array}{c} 0 \\ \omega+m \\ 0 \\ -k_{z} \end{array}\right) \tag{6.11}\end{align}\] となる。 負の振動数の解については\(\psi(x) = v_s (\boldsymbol{k}) e^{ i \omega t - i k_z z}\)とし、\[\begin{align} &v_- (k_z \boldsymbol{e}_z)= \sqrt{ \frac{2\omega}{(\omega+m)^2 + k_z^2} } \left(\begin{array}{c} k_{z} \\ 0 \\ \omega+m \\ 0 \end{array}\right), \vspace{0.2cm} \\ & v_+ (k_z \boldsymbol{e}_z) = \sqrt{ \frac{2\omega}{(\omega+m)^2 + k_z^2} } \left(\begin{array}{c} 0 \\ -k_{z} \\ 0 \\ \omega+m \end{array}\right) \tag{6.12}\end{align}\] となる。

6-4.　ディラックスピノールの関係式

ディラックスピノールのディラック共役を次のように定義する。\[\begin{align} \bar{u}_s(\boldsymbol{k}) &\equiv u_s^\dagger (\boldsymbol{k})\gamma^0, \\ \bar{v}_s(\boldsymbol{k}) &\equiv v_s^\dagger(\boldsymbol{k}) \gamma^0 \tag{6.13}\end{align}\] このとき、次の関係が成り立つ。\[\begin{align} &\bar{u}_s(\boldsymbol{k}) u_{s'}(\boldsymbol{k}) =2 m \delta_{s s'} , \\ &\bar{v}_s(\boldsymbol{k}) v_{s'}(\boldsymbol{k}) = - 2 m \delta_{s s'} , \\ &\bar{u}_s(\boldsymbol{k}) v_{s'}(\boldsymbol{k}) = 0 , \\ &\bar{v}_s(\boldsymbol{k}) u_{s'}(\boldsymbol{k}) = 0 , \tag{6.14}\end{align}\]\[\begin{align} &\bar{u}_s(\boldsymbol{k}) \gamma^\mu u_{s'}(\boldsymbol{k}) =2 p^\mu \delta_{s s'} , \\ &\bar{v}_s(\boldsymbol{k}) \gamma^\mu v_{s'}(\boldsymbol{k}) = 2 p^\mu \delta_{s s'} , \tag{6.15}\end{align}\]\[\begin{align} &\bar{u}_s(\boldsymbol{k}) \gamma^0 v_{s'}(-\boldsymbol{k}) = 0 , \label{eq:ukmk}\\ &\bar{v}_s(\boldsymbol{k}) \gamma^0 u_{s'}(-\boldsymbol{k}) = 0 , \label{eq:vkmk} \tag{6.16}\end{align}\] これらの関係式は、ディラックパウリ表示に限らず成り立つ。 ³²

さらに、以下の関係式は場の理論における摂動計算で頻繁に用いられる。\[\begin{align} & \sum_{s=\pm} u_{s}(\boldsymbol{k}) \bar{u}_s(\boldsymbol{k}) = - \gamma^\mu k_\mu + mI_{4}, \\ &\sum_{s=\pm} v_{s}(\boldsymbol{k}) \bar{v}_s(\boldsymbol{k}) = - \gamma^\mu k_\mu - mI_{4}, \tag{6.18}\end{align}\] これらの関係式は、粒子の静止系での具体的な解を用いて導出し、それをローレンツ変換することで証明できる。

6-6.　ディラックの解釈と対生成・対消滅・真空偏極

以降の章で詳しく述べるが、ディラック方程式の負の振動数の解は、反粒子の荷電共役変換による解を表す。 ここではその前に、歴史的にディラックが負の振動数の解をどのように解釈したかを説明する。

ディラックの時代には、負の振動数の解を負のエネルギーを持つ解として解釈していた。というのも、粒子のハミルトニアンを\(\hat{H} = \gamma^0 (\boldsymbol{\gamma} \cdot \hat{\boldsymbol{p}} + m I_{4})\)とした場合、負の振動数の解に対してもそのまま適用すると、自動的に負のエネルギーが現れるからである。 ³³ しかし、このような負のエネルギー状態が存在すると、外部にエネルギーを放出することで粒子は無限にエネルギーを失い、負の無限大へと落ち込んでしまう。

この問題を解決するために、ディラックは真空状態を「負のエネルギー状態がすべて埋まっている状態」と解釈した。これをディラックの海と呼ぶ。³⁴ ディラック方程式に従う粒子はスピン\(1/2\)を持つフェルミオンであるため、パウリの排他原理により、すでに埋まっている負のエネルギー状態には新たに落ち込むことができない。これにより、粒子が負の無限大のエネルギーへと落ち込む問題は回避される。

ディラックの海の解釈に従うと、負のエネルギー状態の一つに外部からエネルギーを与えることで、正のエネルギー状態へと励起できる。その結果、もともとあった負のエネルギー状態には"孔"（ホール）が生じる。このホールは、粒子とは逆の電荷を持つ粒子として観測されるため、反粒子と呼ばれる。この解釈を電子に適用すると、正の電荷を持つ反粒子、すなわち陽電子の存在が予言される。そして、1933年にカール・アンダーソンによって陽電子が発見され、ディラック方程式の予言が実証された。

負のエネルギー状態の一つが励起されホールができると、同時に正のエネルギー状態も1つ埋まる。これは粒子と反粒子が1対1で生成されることを意味し、対生成と呼ばれる。この際、エネルギー保存則により、対生成に必要な最低エネルギーは粒子と反粒子の質量の和となる。反粒子の質量は対応する粒子の質量と等しいため、電子と陽電子の対生成に必要な最低限のエネルギーは電子の質量の2倍に等しい。

逆に、初期状態で負のエネルギー状態にホールがあった場合、そのホールに粒子が落ち込んで埋めるという反応も考えられる。これは粒子と反粒子が1つずつ消滅する対消滅と呼ばれる過程である。エネルギー保存則により、対消滅の終状態では粒子と反粒子の合計エネルギー分のエネルギーが放出される。実際には、光子などのゲージ粒子が2つ放出される反応となる。この対生成と対消滅は逆反応の関係にある。

さらに、このような対生成に必要なエネルギーがなくとも、時間とエネルギーの不確定性関係により、極めて短い時間スケールの間で対生成と対消滅の反応が繰り返される。 ここで、電荷をもつ粒子を考えると、その周囲の真空においても粒子と反粒子が生成・消滅を繰り返していると考えられる。そして、この電荷をもつ粒子が作る電場の影響により、生成・消滅する粒子と反粒子の空間的な分布が偏る。この現象を真空偏極と呼ぶ。

真空偏極の起源は不確定性関係と関連しているため、その大きさは考える長さのスケールによって異なる。つまり、観測するスケールに応じて「見かけの電荷」の値が変化する。この長さのスケールはエネルギーの逆数として表すこともできるため、見かけの電荷は実験で扱うエネルギースケールによって変化する。 ³⁵

このような粒子の対生成や対消滅の反応は、1粒子の相対論的量子力学の範疇を超えており、多体系を扱うことができる場の理論を用いなければ厳密な解析はできない。しかし、直感的には以上の議論によってその概念を理解することができる。

6-7.　パウリの批判について

ディラック方程式の対称性から、反粒子の質量は粒子の質量と等しい。また、対生成の際には必ず粒子と反粒子がペアで生成される。このため、宇宙の初期に粒子と反粒子の数に非対称性がなければ、現在の宇宙も粒子と反粒子が同数存在するはずである。しかし、観測される宇宙はほぼ粒子のみで構成されており、矛盾している。この点をパウリは批判した。

その後、陽電子が発見されたことでディラックの理論の正しさは確認された。しかし、パウリの批判が解決されたわけではない。この問題は現在の宇宙論における未解決問題の一つであり、物質反物質非対称性の起源の問題と呼ばれている。これを解決するには、理論が粒子と反粒子の入れ替えに対して非対称である必要がある。 ³⁶ そしてその非対称な効果を用いて、宇宙の初期に粒子と反粒子の存在量の非対称性を生み出す必要がある。

その後、非対称な効果を導入するために小林・益川理論が提案され、その理論の予言した粒子も発見された。しかし、この理論において生成することができる粒子と反粒子の非対称性は不十分であり、この問題は依然として未解決である。このため、素粒子の標準模型を超える新たな物理が必要とされている。

7.　非相対論的近似

7-1.　電磁場中のディラック方程式

電磁場中のディラック方程式は、通常の手続に従って\[\begin{align} \partial_\mu \to \partial_\mu - i q A_\mu \tag{7.1}\end{align}\] の置き換えにより次のように得られる。\[\begin{align} \left( i \gamma^\mu (\partial_\mu - i q A_\mu) - m I_{4}\right) \psi(x) = 0, \tag{7.2}\end{align}\]

7-2.　パウリ方程式

電磁場中のディラック方程式の非相対論的極限を取ることで、パウリ方程式が得られることを確認する。

ディラック・パウリ表示のガンマ行列を\(2\times2\)のブロック行列で表すと、\[\begin{align} &\gamma^0 = \begin{pmatrix} I_{2}& 0 \\ 0 & -I_{2} \end{pmatrix} \\ &\gamma^i = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_i \\ -\sigma_i & 0 \end{pmatrix} \tag{7.3}\end{align}\] となる。 波動関数も、それぞれ2成分を持つ\(f(x)\)と\(g(x)\)を導入し、クライン・ゴルドン方程式の場合と同様に\(e^{-imt}\)の因子を明示的に取り出して、\[\begin{align} \psi(x)=e^{-i m t}\left(\begin{array}{l} f(x) \\ g(x) \end{array}\right) \tag{7.4}\end{align}\] と書く。 このとき、ディラック方程式は、\[\begin{align} \begin{pmatrix} (i \partial_0 - q \phi)I_{2}& \boldsymbol{\sigma} \cdot (i \boldsymbol{\nabla} + q \boldsymbol{A}) \\ - \boldsymbol{\sigma} \cdot (i \boldsymbol{\nabla} + q \boldsymbol{A}) & (-2m - i \partial_0 + q \phi)I_{2} \end{pmatrix} \left(\begin{array}{l} f \\ g \end{array}\right) = 0 \tag{7.5}\end{align}\] と表される。

時間微分を形式的に非相対論的なエネルギーを与えるもの(\(i \partial_0 \leftrightarrow \delta E\))と約束して計算していくと、\[\begin{align} g(x) =-\frac{1 }{2 m + i \partial_0 - q \phi} \boldsymbol{\sigma} \cdot \left(i \boldsymbol{\nabla} + q \boldsymbol{A}\right) f(x) \tag{7.6}\end{align}\] となる。 これを用いてディラック方程式から\(g\)を消去すると、\[\begin{align} (i \partial_0 - q \phi) f(x) + \boldsymbol{\sigma} \cdot (i \boldsymbol{\nabla} + q \boldsymbol{A}) \left[ \frac{-1 }{2 m + i \partial_0 - q \phi} \boldsymbol{\sigma} \cdot \left(i \boldsymbol{\nabla} + q \boldsymbol{A}\right) \right] f(x) = 0 \tag{7.7}\end{align}\] となる。

非相対論的極限では静止エネルギー\(m\)は他のエネルギー成分より非常に大きいため、例えば\(2 m + i \partial_0 - q \phi \simeq 2m\)と近似できる。このとき、\(g\)は\(f\)よりも非常に小さい値を取ることが分かる。つまり、非相対論的極限においては、ディラック・パウリ表示での波動関数の下2成分は上2成分に比べて小さくなる。

任意の3次元ベクトル\(\boldsymbol{a}\)および\(\boldsymbol{b}\)に対する恒等式\[\begin{align} (\boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{a})(\boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{b})=(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}) I_{2}+i \boldsymbol{\sigma} \cdot(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \tag{7.8}\end{align}\] を用いると、\[\begin{align} &\left(i \boldsymbol{\nabla} + q \boldsymbol{A} \right) \cdot \boldsymbol{\sigma} \left(i \boldsymbol{\nabla} + q \boldsymbol{A}\right) \cdot \boldsymbol{\sigma} \\ = &\left(i \boldsymbol{\nabla} + q \boldsymbol{A}\right)\cdot \left(i \boldsymbol{\nabla} + q \boldsymbol{A}\right) I_{2} + i \boldsymbol{\sigma} \cdot \left(i \boldsymbol{\nabla} + q \boldsymbol{A}\right) \times \left(i \boldsymbol{\nabla} + q \boldsymbol{A}\right) \\ =&\left(i \boldsymbol{\nabla} + q \boldsymbol{A}\right) \cdot \left(i \boldsymbol{\nabla} + q \boldsymbol{A}\right) I_{2} - q \boldsymbol{\sigma} \cdot \left(\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{A}\right) \tag{7.9}\end{align}\] となる。ここで、微分作用素が\(\boldsymbol{A}\)にもかかることに注意する。 これを用いて\(f(x)\)の非相対論的極限の式を整理すると、\[\begin{align} i \frac{\partial}{\partial t} f(x)=\left[ -\frac{1}{2 m} \left( \boldsymbol{\nabla} - i q \boldsymbol{A}(x)\right)^{2} - \frac{q }{2 m} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{B}(x) + q \phi(x)\right] f(x) \tag{7.10}\end{align}\] となり、パウリ項\(-q/(2 m) \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{B}\)を含むシュレーディンガー・パウリ方程式が得られる。 ここで、磁場は\(\boldsymbol{B} = \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{A}\)である。

7-3.　磁気モーメント

パウリ項は次のように表される。\[\begin{align} H_\mathrm{ Pauli} =- \boldsymbol{\mu} \cdot \boldsymbol{B} \tag{7.11}\end{align}\] ここで、粒子の磁気モーメントは\[\begin{align} \boldsymbol{\mu} = g \frac{q}{2m} \boldsymbol{S} \tag{7.12}\end{align}\] と定義される。ただし、\(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\sigma}/2\)である。 非相対論的なディラック方程式は \(g= 2\)を予言することがわかる。 この値は非相対論的な量子力学では経験的に与えられていたが、ディラック方程式からは理論的に導かれるため、ディラック理論の成功の一つとされる。 この項の効果として、一様磁場中の原子に対する異常ゼーマン効果や、原子中の陽子の磁気モーメントによる超微細構造が現れることが知られている。

ただし、場の量子論における輻射補正を考慮すると、\(g\)の値は\(2\)からわずかにずれる。このずれは異常磁気モーメントと呼ばれる。 電子とミューオンの磁気モーメントの実験値は以下のとおりである。\[\begin{align} &g_e = 2.00231930436182 (52) \\ &g_\mu = 2.0023318412 (4) \tag{7.13}\end{align}\] 電子とミューオンの値が小数第6位まで一致しているのは、電磁相互作用による補正が\((g-2)/2 = \alpha/(2\pi)\)で共通に寄与するためである。 電子に関しては理論計算と誤差の範囲内で一致しており、場の理論が驚異的な精度で正しいことを示している。一方、ミューオンに関しては理論計算との有意なズレがあり、このズレが未知の物理の影響による可能性が議論されている。これは素粒子現象論の重要な研究テーマの一つとなっている。

7-4.　水素様原子のスピン軌道相互作用と微細構造

ここでは、水素様原子中の最外殻電子について考える。水素様原子とは、閉殻に全ての電子が詰まったものに、さらに電子が一つ加わった系を指す。

閉殻は球対称であるため、原子核および閉殻電子が作り出すクーロンポテンシャルは次のように書ける。\[\begin{align} &A^0 = \phi(r) \\ &\boldsymbol{A} = 0 \tag{7.14}\end{align}\] このとき、非相対論的極限における0次の方程式は\[\begin{align} i \frac{\partial}{\partial t} f(x)=\left[ -\frac{1}{2 m} \boldsymbol{\nabla}^{2} + q \phi(x)\right] f(x) \label{H-like-0} \tag{7.15}\end{align}\] となる。 さらに非相対論的極限における1次の項を考えると、その一部がスピン軌道相互作用を生じることが以下のように示される。

7.2節で用いた非相対論的近似では、次の展開を用いた。\[\begin{align} \frac{1}{2 m + i \partial_0 - q \phi} \simeq \frac{1}{2m} + \frac{q\phi - i \partial_0}{4 m^2}, \tag{7.16}\end{align}\] この近似を一次の項まで保持すると、特に以下の項が得られる。\[\begin{align} & i \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\nabla} \left[ \frac{-1 }{2 m + i \partial_0 - q \phi} \left( i \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\nabla} f(x) \right) \right] \\ \simeq & \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\nabla} \left[ \left( \frac{1}{2m} + \frac{- i \partial_0}{4 m^2} \right) f(x) \right] + \frac{1}{4m^2} \left[ \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\nabla} \left( q \phi \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\nabla} f \right) \right], \tag{7.17}\end{align}\] さらに、逐次近似を用い、0次の方程式([H-like-0])を1次の項の時間微分に代入すると、\[\begin{align} &\simeq \frac{\boldsymbol{\nabla}^2}{2m} f + \frac{\boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\nabla}^2 }{8m^3} f - \frac{1}{4m^2} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\nabla} \left( q \phi f \right) \nonumber\\ &\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad + \frac{1}{4m^2} \left[ \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\nabla} \left( q \phi \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\nabla} f \right) \right], \nonumber\\ &= \frac{\boldsymbol{\nabla}^2}{2m} f + \frac{\boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\nabla}^2 }{8m^3} f - \frac{1}{4m^2} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\nabla} \left[ \left( \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\nabla} q \phi \right) f \right], \tag{7.18}\end{align}\] となる。 ここで、\(\boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\nabla} = \boldsymbol{\nabla}^2\)を用いた。 第一項は0次の方程式を表し、 第二項は運動エネルギーの相対論的補正の一次の項を示している。

第三項に注目し、\(\phi = \phi(r)\)であることを用いると、\[\begin{align} \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\nabla} (q \phi) = \frac{\boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{r}}{r} q \frac{\partial\phi}{\partial r} \tag{7.19}\end{align}\] と変形できる。 さらに、次の恒等式を用いると、\[\begin{align} (\boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{\nabla}) (\boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{r}) &= \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{r} I_{2}+ i \boldsymbol{\sigma} \cdot ( \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{r}) \\ &= \boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{r} I_{2}+ \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{L} \tag{7.20}\end{align}\] 第三項は次のように変形される。\[\begin{align} \text{(第三項)} = - \frac{q}{4m^2} \frac{1}{r} \left( \frac{\partial\phi}{\partial r} \right) \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{L} f - \frac{q}{4m^2} \boldsymbol{\nabla} \cdot \left[ \frac{\boldsymbol{r}}{r} \left( \frac{\partial\phi}{\partial r} \right) f \right], \tag{7.21}\end{align}\] ここでスピンを\(\boldsymbol{S} = \boldsymbol{\sigma}/2\)とすると、全てをまとめた式は次のようになる。\[\begin{align} i \frac{\partial}{\partial t} f(x) &=\left[ -\frac{\boldsymbol{\nabla}^{2}}{2 m} - \frac{\boldsymbol{\nabla}^2 \boldsymbol{\nabla}^2 }{8m^3} + q \phi(x) \right. \nonumber\\ &\quad \left. + \frac{q}{2m^2} \frac{1}{r} \left( \frac{\partial\phi}{\partial r} \right) \boldsymbol{L} \cdot \boldsymbol{S} + \frac{q}{4m^2} \boldsymbol{\nabla} \cdot \frac{\boldsymbol{r}}{r} \left( \frac{\partial\phi}{\partial r} \right) \right] f(x) \tag{7.22}\end{align}\] 非相対論的量子力学において天下り的に導入されていたスピン軌道相互作用が自然に表れることがわかる。 また、その係数も実験から示唆される値と一致している。 スピン軌道相互作用により水素様原子の微細構造が生じる。 この効果はナトリウムのD線の分岐として実際に観測されている。

8.　C, P 変換とヘリシティ

8-1.　荷電共役変換

電磁場中のディラック方程式\[\begin{align} \left( i \gamma^\mu (\partial_\mu - i q A_\mu) - m I_{4}\right) \psi(x) = 0, \tag{8.1}\end{align}\] の全体に対して複素共役を取ると、\[\begin{align} \left( -i (\gamma^\mu)^* (\partial_\mu + i q A_\mu) - m I_{4}\right) \psi^*(x) = 0, \tag{8.2}\end{align}\] となる。ここで、\[\begin{align} \left(C \gamma^{0}\right) \gamma^{\mu *}\left(C \gamma^{0}\right)^{-1}=-\gamma^{\mu} \tag{8.3}\end{align}\] を満たす行列\(C\)が存在すると仮定すると、\[\begin{align} & \left( i \gamma^\mu (\partial_\mu + i q A_\mu) - m I_{4}\right) \psi^{c} = 0, \\ &\psi^{c} \equiv C \gamma^{0} \psi^{*} = C \bar{\psi}^T \tag{8.4}\end{align}\] となる。 この\(\psi^{c}\)を波動関数の荷電共役変換と呼ぶ。 これは電荷の符号を反転させるか、あるいはゲージ場\(A_\mu\)の符号を反転させたディラック方程式を満たす。つまり、電磁場中のディラック方程式は、\[\begin{align} &A_\mu \to - A_\mu \\ &\psi \to \psi^c \tag{8.5}\end{align}\] の変換に対して対称である。 この変換では複素共役が取られるため、正の振動数の解が負の振動数の解に置き換わる。したがって、この変換は粒子と反粒子を入れ替える作用を持ち、荷電共役変換（C変換）と呼ばれる。 ³⁷

ディラック・パウリ表示では、\[\begin{align} &(\gamma^\mu)^* = \gamma^\mu \quad \mathrm{ for} \ \mu = 0,1,3 \\ &(\gamma^\mu)^* = - \gamma^\mu \quad \mathrm{ for} \ \mu = 2 \tag{8.6}\end{align}\] が成り立つことに注意すると、\[\begin{align} C=i \gamma^{2} \gamma^{0}=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \tag{8.7}\end{align}\] とすれば、\[\begin{align} &\left(C \gamma^{0}\right) \gamma^{\mu *}\left(C \gamma^{0}\right)^{-1} \\ = &- \gamma^2 (\gamma^{\mu})^* \gamma^2 \\ = &- \gamma^\mu \tag{8.8}\end{align}\] となり、上記の条件を満たすことが確認できる。³⁸

8-2.　パリティ変換

次に、空間反転を考える。これはパリティ変換もしくはP変換とも呼ぶ。 これは座標変換として、\[\begin{align} &x^{\prime \mu} = (\Lambda_{\mathrm{P}})^{\mu}{}_{\nu} x^{\nu} \\ &(\Lambda_{\mathrm{P}})^{\mu}{}_{\nu} = \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{array}\right) \tag{8.9}\end{align}\] および\[\begin{align} &\psi \to \psi^{\prime}\left(x^{\prime}\right)=P \psi(x) \\ &A^0 \to A^{\prime 0} (x') = A^0 (x) \\ &\boldsymbol{A} \to \boldsymbol{A}^{\prime}(x') = - \boldsymbol{A} (x) \tag{8.10}\end{align}\] とする変換である。ここで、\(P\)は後述する\(4\times4\)行列である。

この変換により、電磁場中のディラック方程式は\[\begin{align} &\left[i \gamma^{\mu} \left( \partial'_\nu - i q A'_\nu(x') \right) -m I_{4}\right] \psi^{\prime}\left(x^{\prime}\right)=0 \\ &\leftrightarrow \left[i P^{-1} \gamma^{\mu} (\Lambda_{\mathrm{P}})_{\mu}{}^{\nu} P \left( \partial_\nu - i q A_\nu(x) \right) -m I_{4}\right] \psi(x)=0 \tag{8.11}\end{align}\] となる。ここで、\[\begin{align} \left(\Lambda_{\mathrm{P}}\right)^{\nu}{ }_{\mu} \gamma^{\mu}=P^{-1} \gamma^{\nu} P \tag{8.12}\end{align}\] を満たす行列\(P\)が存在すれば、元の電磁場中のディラック方程式に戻るため、この方程式はパリティ変換に対して対称であることがわかる。

任意の表現において、\[\begin{align} &\gamma^0 \gamma^\mu \gamma^0 = \gamma^\mu \quad \mathrm{ for} \ \mu = 0 \\ &\gamma^0 \gamma^\mu \gamma^0 = -\gamma^\mu \quad \mathrm{ for} \ \mu = 1,2,3 \tag{8.13}\end{align}\] が成り立つので、 位相因子\(\eta_{\mathrm{P}}\)を導入し、\[\begin{align} P=\eta_{\mathrm{P}} \gamma_{0} \tag{8.14}\end{align}\] とすれば上記の条件を満たすことが確認できる。

また、ディラック共役は次のように変換する。\[\begin{align} \bar{\psi} \to \bar{\psi}' = \bar{\psi} P^{-1} \tag{8.15}\end{align}\] したがって、\[\begin{align} \bar{\psi} \gamma^{\mu} \psi &\to \bar{\psi}^{\prime}\left(x^{\prime}\right) \gamma^{\mu} \psi^{\prime}\left(x^{\prime}\right) \\ &=\bar{\psi}(x) P^{-1} \gamma^{\mu} P \psi(x) \\ &=(\Lambda_{\mathrm{P}})^{\mu}{}_{\nu} \bar{\psi}(x) \gamma^{\nu} \psi(x) \tag{8.16}\end{align}\] となる。

次の量はカイラリティ行列と呼ばれる。\[\begin{align} \gamma^5 \equiv i \gamma^0 \gamma^1 \gamma^2 \gamma^3 \tag{8.17}\end{align}\] これは次の関係式を満たす。\[\begin{align} &\{ \gamma^\mu, \gamma^5\} = 0, \\ &[\sigma^{\mu \nu}, \gamma^5] = 0, \\ &(\gamma^5)^2 = I_{4} \tag{8.18}\end{align}\] したがって、 \(\bar{\psi}\gamma^5 \psi\)および \(\bar{\psi}\gamma^\mu \gamma^5 \psi\)は パリティ変換で符号が変わり、それぞれ擬スカラーおよび擬ベクトルとなる。

8-3.　自由粒子の保存量

量子力学では、ハミルトニアンと交換する演算子はエネルギー固有状態と同時に対角化でき、対応する観測量は保存する。 ディラック方程式に従う自由粒子のハミルトニアンは\[\begin{align} \hat{H} = \gamma^0 ( \boldsymbol{\gamma} \cdot \hat{\boldsymbol{p}} + m I_{4}) \tag{8.19}\end{align}\] であり、\[\begin{align} \left[ \hat{H}, \hat{\boldsymbol{p}} \right] = 0 \tag{8.20}\end{align}\] が成り立つため、運動量は保存する。

一方、軌道角運動量\(\hat{L}_i = \epsilon_{ijk} \hat{x}^j \hat{p}^k\)を考えると、その\(z\)成分は\[\begin{align} \left[ \hat{L}_3, \hat{H} \right] = i \gamma^0 ( \gamma^1 \hat{p}^2 - \gamma^2 \hat{p}^1 ) \tag{8.21}\end{align}\] となり、保存しないことがわかる。ここで、\[\begin{align} \left[ \hat{x}^i, \hat{p}^j \right] = i \delta_{ij} \tag{8.22}\end{align}\] を用いた。

一方、\(\Sigma_i\)については\[\begin{align} \left[ \Sigma_i, \hat{H} \right] &= \sum_j \left[ \Sigma_i, \gamma^0 \gamma^j \right] \hat{p}^j \\ &=2 i \sum_{k,j} \epsilon_{ijk} \left(\begin{array}{cc} 0 & \sigma_k \\ \sigma_k & 0 \end{array}\right) \hat{p}^j \\ &= 2 i \sum_{k,j} \epsilon_{ijk} \gamma^0 \gamma^k \hat{p}^j \tag{8.23}\end{align}\] となる。 ここで、\[\begin{align} \left[ \sigma_i, \sigma_j \right] = 2 i \sum_k \epsilon_{ijk} \sigma_k \tag{8.24}\end{align}\] を用いた。

これらを合わせると、\[\begin{align} \left[ \hat{L}_3 + \frac12 \Sigma_3, \hat{H} \right] = 0 \tag{8.25}\end{align}\] が成り立ち、 全角運動量の\(z\)成分\(\hat{J}_3 = \hat{L}_3 + \frac12 \Sigma_3\)が保存することがわかる。 同様に、\(\hat{J}_1\), \(\hat{J}_2\)もハミルトニアンと交換するため、 \(\Sigma_i/2\)が\(i\)方向のスピンを表すことがわかる。

8-4.　ヘリシティ

\(\left[ \Sigma_i, \hat{H} \right] = 2 i \sum_{k,j} \epsilon_{ijk} \gamma^0 \gamma^k \hat{p}^j\)の関係式において、 \(\hat{p}^i\)との内積を取ると、\[\begin{align} \left[ \hat{\boldsymbol{p}} \cdot \boldsymbol{\Sigma}, \hat{H} \right] = 0 \tag{8.26}\end{align}\] が成り立つ。 したがって、次の量が保存する。³⁹\[\begin{align} \hat{h} \equiv \frac{\boldsymbol{\Sigma} \cdot \hat{\boldsymbol{p}}}{2 \left\vert {\hat{\boldsymbol{p}}} \right\vert} \tag{8.27}\end{align}\] この量は運動量の方向に向いたスピンを表し、ヘリシティと呼ばれる。 \(z\)方向に運動している粒子の場合は\(z\)方向のスピンを表す。 \(h=1/2\)を右巻き、\(h=-1/2\)を左巻きの状態と呼ぶ。 自由粒子の状態は運動量とヘリシティでラベルすることが多い。

ヘリシティは時間発展では変化せず保存する量であるが、 座標変換によるローレンツブーストで粒子を追い越す系に移ると、ヘリシティは逆になる。 また、パリティ変換によって運動量が反転すると、ヘリシティも反転する。

9.　ワイルスピノール

9-1.　ワイル表現とローレンツ変換性

これまでは非相対論的極限を考慮して、ディラック・パウリ表示のガンマ行列を用いてきた。一方、相対論的極限や質量のない粒子を扱う場合には、ワイル表示（カイラル表示）のガンマ行列を用いるのが有用である。 この表示におけるガンマ行列は、次のように表される。\[\begin{align} \gamma^{\mu}=\left(\begin{array}{cc} 0 & \sigma^{\mu} \\ \bar{\sigma}^{\mu} & 0 \end{array}\right), \quad \sigma^{\mu} \equiv(I_{2}, \sigma), \quad \bar{\sigma}^{\mu} \equiv(I_{2},-\sigma) \tag{9.1}\end{align}\] この表示を用いると、質量\(m\)の粒子に対するディラック方程式は、\[\begin{align} \left(\begin{array}{cc} -m \, I_{2}& i \sigma^{\mu} (\partial_{\mu} - i q A_\mu) \\ i \bar{\sigma}^{\mu} (\partial_{\mu} - i q A_\mu) & -m \, I_{2} \end{array}\right)\left(\begin{array}{l} \xi(x) \\ \eta(x) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \end{array}\right) \tag{9.2}\end{align}\] となる。ここで、波動関数を二成分ずつに分けて記述した。

また、ワイル表示では \[\begin{align} \sigma^{\alpha \beta} &=\frac{i}{2}\left[\gamma^{\alpha}, \gamma^{\beta}\right] \\ &= \frac{i}{2} \left(\begin{array}{cc} \sigma^{\alpha} \bar{\sigma}^\beta - \sigma^{\beta} \bar{\sigma}^{\alpha} & 0 \\ 0 & \bar{\sigma}^{\alpha} \sigma^\beta - \bar{\sigma}^{\beta} \sigma^{\alpha} \end{array}\right) \tag{9.3}\end{align}\] となる。特に、\[\begin{align} &\sigma^{0 i} =\left(\begin{array}{cc} - i \sigma^{i} & 0 \\ 0 & i \sigma^{i} \end{array}\right) \\ &\sigma^{i j} =\left(\begin{array}{cc} \sum_k \varepsilon^{i j k} \sigma^{k} & 0 \\ 0 & \sum_k \varepsilon^{i j k} \sigma^{k} \end{array}\right) = \sum_k \varepsilon^{i j k} \Sigma^{k} \tag{9.4}\end{align}\] となる。 この行列がブロック対角化されていることから、 ディラックスピノールに作用するローレンツ変換(\(\psi(x) \to \psi'(x') = U(\Lambda) \psi(x)\))の行列である\[\begin{align} U(\Lambda) &= \exp \left(\frac{i}{4} \omega_{\mu \nu} \sigma^{\mu \nu}\right) \\ &= \left(\begin{array}{cc} \exp \left(i \boldsymbol{\theta} \cdot \frac{\boldsymbol{\sigma}}{2}+ \boldsymbol{\eta} \cdot \frac{\boldsymbol{\sigma}}{2}\right) & 0 \\ 0 & \exp \left(i \boldsymbol{\theta} \cdot \frac{\boldsymbol{\sigma}}{2}- \boldsymbol{\eta} \cdot \frac{\boldsymbol{\sigma}}{2}\right) \end{array}\right) \tag{9.5}\end{align}\] もブロック対角化されており、ディラックフェルミオンの上二成分と下二成分が独立に変換されることを示している。つまり、\(\xi\)と\(\eta\)はローレンツ変換によって混ざらない。 ⁴⁰

9-2.　カイラリティ

ワイル表示において、\(\gamma^5\)は\[\begin{align} \gamma_{5}=\left(\begin{array}{cc} -I_{2}& 0 \\ 0 & I_{2} \end{array}\right) \tag{9.6}\end{align}\] となる。これをカイラリティと呼ぶ。\(\xi\)と\(\eta\)はカイラリティの固有状態である。 左巻きと右巻きのカイラリティを取り出すには、\[\begin{align} \psi_{\mathrm{L}} \equiv \frac{I_{4}-\gamma_{5}}{2} \psi=\left(\begin{array}{c} \xi(x) \\ 0 \end{array}\right), \quad \psi_{\mathrm{R}} \equiv \frac{I_{4}+\gamma_{5}}{2} \psi=\left(\begin{array}{c} 0 \\ \eta(x) \end{array}\right) \tag{9.7}\end{align}\] のようにすればよい。

なお、パリティ変換\(P = \eta_P \gamma^0\)によって、\[\begin{align} P \left(\begin{array}{c} \xi \\ \eta \end{array}\right) = \eta_P \left(\begin{array}{c} \eta \\ \xi \end{array}\right), \tag{9.8}\end{align}\] となり、\(\xi\)と\(\eta\)が入れ替わる。 また、\(C\)変換\(C = i \gamma^2 \gamma^0\)によって、\[\begin{align} \psi^c = \left(\begin{array}{c} i \sigma^2 \eta^* \\ - i \sigma^2 \xi^* \end{array}\right), \tag{9.9}\end{align}\] となり、ここでも\(\xi\)と\(\eta\)が混ざって変換する。 しかし、\(C\)と\(P\)変換を同時に行うと、\[\begin{align} \psi_\mathrm{ CP} = \eta_P \gamma^0 C \gamma^0 \psi^* = \left(\begin{array}{c} - i \eta_P \sigma^2 \xi^* \\ i \eta_P \sigma^2 \eta^* \end{array}\right), \tag{9.10}\end{align}\] となり、\(\xi\)と\(\eta\)はそれぞれ独立に変換する。

9-3.　masslessの場合

質量がない粒子(\(m=0\))を考えると、ディラック方程式は\[\begin{align} i \bar{\sigma}^{\mu} (\partial_{\mu} - i q A_\mu) \xi(x)=0 \\ i {\sigma}^{\mu} (\partial_{\mu} - i q A_\mu) \eta(x)=0 \tag{9.11}\end{align}\] となる。このため、\(\xi\)と\(\eta\)は時間発展によって混ざることがない。 \(\xi\)と\(\eta\)が満たす方程式はワイル方程式と呼ばれ、それに対応する波動関数をワイルスピノールと呼ぶ。

以下では電磁場がない場合を考える。 このとき、\(\xi\)のワイル方程式の解を\(\xi(x) = e^{-i k_\mu x^\mu} u(x)\)とすると、\[\begin{align} &\bar{\sigma}^\mu k_\mu u(x) = 0 \\ \leftrightarrow &( \boldsymbol{\sigma} \cdot \boldsymbol{k}) u(x) = - k^0 u(x), \tag{9.12}\end{align}\] を満たす。 ここで、 ヘリシティを2成分波動関数\(\xi\)および\(\eta\)に対して作用するように定義し、\[\begin{align} h \equiv \frac{\boldsymbol{k}}{\left\vert \boldsymbol{k} \right\vert} \cdot \frac{\boldsymbol{\sigma}}{2} \tag{9.13}\end{align}\] とすると、ワイル方程式を満たす\(u\)はヘリシティー\(-1/2\)の固有状態であり、左巻き粒子を表す。 同様に、\(\eta(x) = e^{-ik_\mu x^\mu} v(x)\)はヘリシティー\(+1/2\)の固有状態で、右巻き粒子を表す。

質量がない粒子では、カイラリティとヘリシティが一致する。このため、\(\xi\)と\(\eta\)を完全に別々に扱い、それぞれを適切に規格化すれば、独立した粒子の波動関数と見なすことができる。\(\xi\)はヘリシティ\(-1/2\)の粒子および反粒子を、\(\eta\)はヘリシティ\(+1/2\)の粒子および反粒子を表す。

別々に扱うことができるため、一方のみを導入することも可能である。その場合はパリティ変換や\(C\)変換は定義できないが、\(CP\)変換は定義できる。例えば、\[\begin{align} \xi_\mathrm{ CP} = - i \eta_P \sigma^2 \xi^* \tag{9.14}\end{align}\] となる。

9-4.　ヒッグス機構(の簡単な模型)

素粒子の標準模型では、基本的な粒子の構成要素はディラックスピノールではなくワイルスピノールである。特に、弱い相互作用はカイラリティが左巻きの粒子のみに作用し、パリティ対称性を破っている。

ワイルスピノールが基本成分である場合、単純には質量項を書き下せない。そのようなときに質量を与える仕組みとしてヒッグス機構がある。

これを説明するために、ディラックフェルミオンが満たすディラック方程式に戻って考える。\[\begin{align} (i \gamma^\mu (\partial_\mu - i q A_\mu(x)) - m I_{4}) \psi(x) = 0 \tag{9.15}\end{align}\] ここで、\(A_\mu(x)\)は背景電磁場を表すベクトル場であり、一方で質量\(m\)はスカラー量である。

このスカラー量をスカラー場\(\phi(x)\)に置き換え、ある定数\(y\)と合わせて\(m = y \phi(x)\)とする。 そこでもし、\(\phi(x)\)が空間的に一様な定数解を持つとすると、その値を\(\phi(x) = v\)としたとき、上記のディラック方程式は質量\(m = y v\)を持つディラック方程式に帰着する。

本質的には、\(\psi\)を\(\chi\)と\(\eta\)に分解し、それぞれには質量項がない理論から出発する。しかし、\(\phi(x)\)との相互作用によって\(\chi\)と\(\eta\)が結びつき、結果的に質量を持たせることができる。このメカニズムがヒッグス機構の一端を担う。

ディラック方程式において、背景電磁場はベクトル場\(A_\mu(x)\)で表され、その解はマクスウェル方程式で決定される。同様に、スカラー場\(\phi(x)\)も何らかの運動方程式によって決定される。 このようなスカラー場が満たすローレンツ共変な運動方程式としては、例えばクライン・ゴルドン方程式がある。\[\begin{align} \partial_\mu \partial^\mu \phi(x) = m^2 \phi(x) \tag{9.16}\end{align}\] ただし、ここの\(\phi(x)\)は3章で考えたような波動関数ではなく、古典的なスカラー場である。

ここで、\(m^2 \phi(x)\)を任意の関数\(V'(\phi)\)に置き換えてもローレンツ共変な形式を保つため、\[\begin{align} \partial_\mu \partial^\mu \phi(x) = V'(\phi), \tag{9.17}\end{align}\] と一般化できる。 これを前提に、ポテンシャルを\[\begin{align} V(\phi) = - \frac{m^2}{2} \phi^2 + \frac{\lambda}{4} \phi^4, \tag{9.18}\end{align}\] とすると、空間的に一様な解として\[\begin{align} \phi(x) = \pm \frac{m}{\sqrt{\lambda}} \tag{9.19}\end{align}\] が存在する。

補足1: スカラー場のラグランジアンにおいて、\(V(\phi)\)はスカラー場のポテンシャルを表す。\(V(\phi)\)は\(\phi \to -\phi\)の変換に対して対称だが、\(V(\phi)\)の最小点(\(\phi = \pm m / \sqrt{\lambda}\))を一つ選んで真空を定義すると、その真空は\(\phi \to -\phi\)の対称性を破る。これを対称性の自発的破れと呼ぶ。

補足2: 低エネルギーでは、ヒッグス場はポテンシャルの安定点 (真空) にとどまり、ポテンシャル全体の形は重要でない。しかし、宇宙初期のような超高温状態では、ヒッグス場が励起し、対称性が回復する可能性がある。

宇宙が高温状態から冷却していく過程で臨界温度に到達し、ヒッグス場が相転移を起こして対称性が自発的に破れる。このように、ヒッグス機構や対称性の自発的破れは、標準模型の整合性を保つだけでなく、宇宙の成り立ちや歴史を理解する上でも重要な概念である。

10.　生成消滅演算子

10-1.　１体系の相対論的量子力学の問題点

これまでの講義では、1体の相対論的な粒子を表す波動関数が満たすべき方程式について学んできた。これは場の理論の観点から見ると、粒子数が変化しない低エネルギーにおける有効理論に相当する。

しかし、相対論の基本的な考え方に従えば、\(E = mc^2\)の関係式からエネルギーを使って粒子を生成できることがわかる。特に、ディラックの海の議論では、粒子と反粒子の対生成・対消滅が起こることが予想されるが、これまでの定式化ではそれを計算することが容易ではなかった。 また、多体系の波動関数を考える際、各粒子の位置は変数\(\boldsymbol{x}_i\)で表される一方で、時刻\(t\)は全ての粒子に対して共通のものを用いなければならない。このため、ローレンツ共変性が損なわれる可能性がある。

さらに、ディラック方程式は\(g\)因子の値が\(2\)であることを自然に説明するが、実験的には\(2\)からわずかにずれていることが知られている。このズレの存在は、ディラック方程式が完全な理論ではないことを示唆する。実際、このズレは、真空中で粒子と反粒子の対生成・対消滅が絶え間なく起こっていることと関連しており、粒子の生成・消滅を考慮する理論が必要であることを示している。

より技術的な問題として、これまでの定式化では反粒子の記述方法や解釈が明確ではなかった点が挙げられる。クライン・ゴルドン方程式やディラック方程式の解には粒子と反粒子の成分が含まれるが、反粒子の波動関数は複素共役を取る形で記述されるため、粒子と反粒子を統一的に解釈することが困難であった。さらに、ディラック方程式に従う粒子の場合、粒子と反粒子でハミルトニアンの符号が逆転し、電荷の流れの定義を考えても反粒子の電荷の符号が正しく得られない。 つまり、粒子と反粒子の状態を統一的に扱えるような理論になっていない。1体系のエネルギー固有状態に注目する場合は問題にならないが、エネルギー固有状態でない一般の状態を正しく扱うことは非常に困難である。

これらの問題を解決するのが、場の量子論である。

10-2.　量子力学の基本原理と場の量子化

これまでは、1粒子状態を位置の固有状態で展開した波動関数\[\begin{align} \phi(\boldsymbol{x},t) = \left< \boldsymbol{x} | \phi(t) \right> \tag{10.1}\end{align}\] が時間と空間の引数を持つことに着目し、シュレディンガー方程式をローレンツ共変な形に拡張する方針で考えてきた。これを場の理論的な観点から見直してみよう。

位置\(\boldsymbol{x}\)に粒子を生成する演算子を\(\hat{\phi}^\dagger (\boldsymbol{x})\)とし、これを真空状態\(\left\vert 0 \right>\)に作用させると、位置\(\boldsymbol{x}\)に1つの粒子が存在する状態を表すと考える。すると、\[\begin{align} \left\vert \boldsymbol{x} \right> = \hat{\phi}^\dagger (\boldsymbol{x}) \left\vert 0 \right> \tag{10.2}\end{align}\] と書ける。 このように考えると、ある1粒子状態\(\left\vert \alpha(t) \right>\)に対して、\[\begin{align} \phi(\boldsymbol{x},t) = \left< 0 \right\vert \hat{\phi} (\boldsymbol{x}) \left\vert \alpha (t) \right> \tag{10.3}\end{align}\] となる。 さらに、ハイゼンベルク表示を採用すると、時間発展はオペレーターに反映され、\[\begin{align} \phi(\boldsymbol{x},t) = \left< 0 \right\vert \hat{\phi} (\boldsymbol{x},t) \left\vert \alpha \right> \tag{10.4}\end{align}\] となる。 このように記述すると、左辺の波動関数がクライン・ゴルドン方程式またはディラック方程式を満たすならば、右辺のオペレーター\(\hat{\phi}(x)\)も同じ方程式を満たさなければならないことがわかる。

このように、波動関数ではなく、粒子の生成・消滅を行う場の演算子\(\hat{\phi}(x)\)を基本的な量とする量子論の枠組みが、場の量子論である。

10-3.　生成消滅演算子のとボソン・フェルミオン

場の理論では生成消滅演算子が重要な役割を果たす。ここでは、その基本的な性質を簡単に復習する。

状態を区別するラベルを\(k\)とし、生成消滅演算子\(\hat{a}_k^\dagger\)および\(\hat{a}_k\)を導入する。⁴¹

まず、生成消滅演算子が以下の交換関係を満たす場合を考える。\[\begin{align} \left[ \hat{a}_{k}, \hat{a}_{k'}^\dagger \right] = \delta_{k k'} \\ \left[ \hat{a}_{k}, \hat{a}_{k'} \right] = \left[ \hat{a}_{k}^\dagger, \hat{a}_{k'}^\dagger \right] = 0 \tag{10.5}\end{align}\] 基底状態\(\left\vert 0 \right>\)を、全ての\(k\)に対して\[\begin{align} \hat{a}_{k} \left\vert 0 \right> = 0 \tag{10.6}\end{align}\] を満たす状態として定義する。 このとき、数演算子を\[\begin{align} \hat{N} = \sum_k \hat{a}_{k}^\dagger \hat{a}_{k} \tag{10.7}\end{align}\] と定義すると、\[\begin{align} \left[ \hat{N}, \hat{a}_{k}^\dagger \right] = \hat{a}_{k}^\dagger \tag{10.8}\end{align}\] が成り立つ。

自由粒子のハミルトニアンは\[\begin{align} \hat{H} = \sum_k E_k \hat{a}_{k}^\dagger \hat{a}_{k} \tag{10.9}\end{align}\] と書ける。ここで、\(E_k\)は1つの粒子が状態\(k\)にあるときのエネルギーを表す。 このとき、 状態\[\begin{align} \hat{a}_{k_1}^\dagger \hat{a}_{k_2}^\dagger \dots \hat{a}_{k_n}^\dagger \left\vert 0 \right> \tag{10.10}\end{align}\] は、数演算子\(\hat{N}\)の固有値\(n\)を持つ固有状態となる。また、\(\hat{a}_{k_i}^\dagger\)同士は可換であるため、この状態は粒子の入れ替えについて対称となる。したがって、この状態はボソンの多体系を表している。

次に、生成消滅演算子が交換関係の代わりに反交換関係を満たす場合を考える。\[\begin{align} \{ \hat{a}_{k}, \hat{a}_{k'}^\dagger \} = \delta_{k k'} \\ \{\hat{a}_{k}, \hat{a}_{k'}\} = \{\hat{a}_{k}^\dagger, \hat{a}_{k'}^\dagger\} = 0 \tag{10.11}\end{align}\] その他の定義はボソンの場合と同様である。 生成消滅演算子が反交換関係を満たすことから、この演算子によって生成される状態は粒子の入れ替えについて反対称となる。つまり、フェルミオンを生成していることを意味する。この性質により、同じラベルの状態には二つ以上の粒子を入れることができない。これはパウリの排他律として知られている。

11.　スカラー場

11-1.　クラインゴルドン方程式の復習

クラインゴルドン方程式は\[\begin{align} \left( \partial_\mu \partial^\mu - m^2 \right) \phi(x) = 0 \tag{11.1}\end{align}\] であった。

特に、運動量\(\boldsymbol{k}\)が一定の解\(\phi(x) \propto e^{\pm i \boldsymbol{k}\cdot \boldsymbol{x}}\)を考えると、振動数が正の解と負の解が存在する。 このうち、正の振動数を持つ解は\[\begin{align} \phi(x) = e^{ik_\mu x^\mu} \\ k^0 = \sqrt{m^2 + \boldsymbol{k}^2} \tag{11.2}\end{align}\] となり、運動量\(\boldsymbol{k}\)を持つ粒子の波動関数を表す。 一方、負の振動数の解は\[\begin{align} \phi(x) = (e^{ik_\mu x^\mu} )^* \\ k^0 = \sqrt{m^2 + \boldsymbol{k}^2} \tag{11.3}\end{align}\] と書ける。非相対論的極限における議論から、これは反粒子の波動関数の複素共役として解釈できる。

11-2.　スカラー粒子の多体系

クライン・ゴルドン方程式に従う粒子（反粒子）の状態は、運動量\(\boldsymbol{k}\)と粒子・反粒子の区別（正負の振動数の解）によってラベルされる。そこで、粒子と反粒子の消滅演算子を明示的に区別するため、前章で用いていた\(a_k\)を\[\begin{align} a_k \to \hat{a}(\boldsymbol{k}), \hat{b}(\boldsymbol{k}) \tag{11.4}\end{align}\] と書き換える。

ボソンであるため、交換関係は\[\begin{align} \left[ \hat{a} (\boldsymbol{k}), \hat{a}^\dagger (\boldsymbol{k}') \right] = (2\pi)^3 2 k^0 \delta^3(\boldsymbol{k} - \boldsymbol{k}') \\ \left[ \hat{b} (\boldsymbol{k}), \hat{b}^\dagger (\boldsymbol{k}') \right] = (2\pi)^3 2 k^0 \delta^3(\boldsymbol{k} - \boldsymbol{k}') \tag{11.5}\end{align}\] となる。ここで、運動量\(\boldsymbol{k}\)は連続的に変化するため、クロネッカーのデルタの代わりにデルタ関数を用いた。また、規格化定数として\((2\pi)^3 2 k^0\)を加えているが、この因子の取り方は文献によって異なることに注意する。 ⁴²

運動量\(\boldsymbol{k}\)を持った1つの粒子が存在する状態は\(\hat{a}^\dagger (\boldsymbol{k}) \left\vert 0 \right>\)、 1つの反粒子が存在する状態は\(\hat{b}^\dagger (\boldsymbol{k}) \left\vert 0 \right>\)で表される。 これらの状態の規格化は\[\begin{align} \left< 0 \right\vert \hat{a}(\boldsymbol{k}) \hat{a}^\dagger (\boldsymbol{k'}) \left\vert 0 \right> = (2\pi)^3 2 k^0 \delta^3 (\boldsymbol{k} - \boldsymbol{k}') \tag{11.6}\end{align}\] となっており、積分測度\(d^3 \boldsymbol{k}'/((2\pi)^3 2k'^0)\)を用いることで規格化が\(1\)になるように取られている。

11-3.　スカラー場の演算子の構成

位置\(\boldsymbol{x}\)における粒子の消滅演算子を\(\hat{\phi}^+(\boldsymbol{x})\)、反粒子の生成演算子を\(\hat{\phi}^- (\boldsymbol{x})\)と定義する。ここで、肩に付いた\(^+\)や\(^-\)は\(^\dagger\)ではなく、単なる名前の一部であることに注意する。

さらに、ハイゼンベルク描像を採用し、系の時間発展をこれらの演算子に反映させる。そのため、時間\(t=x^0\)を引数に明示的に含めて\(\hat{\phi}^+ (x)\)や\(\hat{\phi}^- (x)\)と書く。

位置\(\boldsymbol{x}\)に1つの粒子が存在する状態は\[\begin{align} (\hat{\phi}^+ (x))^\dagger \left\vert 0 \right> \tag{11.7}\end{align}\] と表される。

運動量の固有状態に対応する1粒子の波動関数は、\[\begin{align} \phi(x) = e^{ik_\mu x^\mu} \tag{11.8}\end{align}\] で与えられる。これを演算子を用いて表すと、\[\begin{align} \phi(x) = \left< 0 \right\vert \hat{\phi}^+(x) a^\dagger (\boldsymbol{k}) \left\vert 0 \right> \tag{11.9}\end{align}\] と書けると期待される。 この関係が任意の\(\boldsymbol{k}\)について成り立つことから、演算子\(\hat{\phi}^+(x)\)は\[\begin{align} \hat{\phi}^+(x) = \int \frac{d^3\boldsymbol{k}}{(2\pi)^3 2k^0} \left( e^{ik_\mu x^\mu} \hat{a}(\boldsymbol{k}) \right) \tag{11.10}\end{align}\] と書けることがわかる。

同様に、運動量固有状態に対応する1つの反粒子状態の波動関数は\[\begin{align} \phi(x) = (e^{ik_\mu x^\mu})^* \tag{11.11}\end{align}\] と書ける。これに着目すると、演算子\(\hat{\phi}^-(x)\)の形は\[\begin{align} \left( \hat{\phi}^-(x) \right)^\dagger = \int \frac{d^3\boldsymbol{k}}{(2\pi)^3 2k^0} \left( e^{ik_\mu x^\mu} \hat{b}_s(\boldsymbol{k}) \right) \tag{11.12}\end{align}\] もしくは\[\begin{align} \hat{\phi}^-(x) = \int \frac{d^3\boldsymbol{k}}{(2\pi)^3 2k^0} \left( e^{-ik_\mu x^\mu} \hat{b}_s^\dagger (\boldsymbol{k}) \right) \tag{11.13}\end{align}\] となる。

このように定義すると、\(\hat{\phi}^+(x)\)と\(\hat{\phi}^-(x)\)は共にクライン・ゴルドン方程式を満たす。ただし、これらは波動関数ではなく演算子であることに注意する。

次に、\(\hat{\phi}^+(x)\)と\(\hat{\phi}^-(x)\)を統一的に扱うことを考える。両者は同じクライン・ゴルドン方程式を満たしているため、一つにまとめることが期待される。しかし、電荷に注目すると、粒子の電荷が\(q\)であるのに対し、反粒子の電荷は\(-q\)である。したがって、それらの消滅演算子を単純に足し合わせると電荷の保存に適した形にはならない。

そこで、電荷\(-q\)の反粒子を生成することは電荷が\(q\)だけ減る作用であることを考慮し、粒子の消滅演算子と反粒子の生成演算子を組み合わせて、\[\begin{align} \hat{\phi}(x) &= \hat{\phi}^+(x) + \hat{\phi}^-(x) \\ &= \int \frac{d^3\boldsymbol{k}}{(2\pi)^3 2k^0} \left( e^{ik_\mu x^\mu} \hat{a}(\boldsymbol{k}) + e^{-ik_\mu x^\mu} \hat{b}^\dagger (\boldsymbol{k}) \right)_{k^0 = \sqrt{m^2 + \boldsymbol{k}^2}} \tag{11.14}\end{align}\] と定義する。 これは位置\(\boldsymbol{x}\)において電荷\(q\)を1つ消滅させる演算子と解釈できる。そもそも粒子や反粒子の数は個別には保存せず、電荷のみが保存されるため、この形の演算子がより基本的であると考えられる。

この統一的な記述は、後に説明する因果律の議論と密接に関係している。

改めて結果を見直すと、\(\hat{\phi}(x)\)はクラインゴルドン方程式\[\begin{align} \left( \partial_\mu \partial^\mu - m^2 \right) \hat{\phi}(x) = 0 \tag{11.15}\end{align}\] を満たしており、その解をエネルギー固有状態の基底で展開した際の係数が、粒子および反粒子の生成・消滅演算子になっていることがわかる。 また、\(\hat{\phi}(x)\)は空間座標に依存することから、スカラー場（の演算子）と呼ばれる。 ここで、場の演算子は波動関数とは異なる概念であることに注意する。 1粒子の波動関数に相当するのは、上記の展開に含まれる\(e^{i k_\mu x^\mu}\)の部分である。

11-4.　実スカラー場

これまでの議論では、\(\hat{\phi}(x)\)は電荷を持ち、粒子と反粒子が電荷の符号によって区別できることを前提としていた。このようなスカラー場を複素スカラー場と呼ぶ。

一方、電荷を持たない粒子を考えると、粒子と反粒子の区別が不要になり、それらの入れ替え対称性が存在する。その場合、粒子と反粒子を同一視して理論の自由度を半分にすることができる。この状況では、場の演算子は1種類の生成消滅演算子\(\hat{a}(\boldsymbol{k})\)のみを用いて、\[\begin{align} \hat{\phi}(x) = \int \frac{d^3\boldsymbol{k}}{(2\pi)^3 2k^0} \left( e^{ik_\mu x^\mu} \hat{a}(\boldsymbol{k}) + e^{-ik_\mu x^\mu} \hat{a}^\dagger (\boldsymbol{k}) \right)_{k^0 = \sqrt{m^2 + \boldsymbol{k}^2}} \tag{11.16}\end{align}\] と表される。 このようなスカラー場を実スカラー場と呼び、\(\hat{\phi}^\dagger = \hat{\phi}\)の関係を満たす。

12.　ディラック場

12-1.　ディラックスピノールの復習

ディラックフェルミオンの運動量およびスピン固有状態に対する1粒子波動関数は、\[\begin{align} \psi(x) = u_s(\boldsymbol{k}) e^{ik_\mu x^\mu} \tag{12.1}\end{align}\] と表される。ここで、\[\begin{align} k^0 = \sqrt{m^2 + \boldsymbol{k}^2} \\ (\gamma^\mu k_\mu + m I_{4}) u_s(\boldsymbol{k}) = 0 \tag{12.2}\end{align}\] が成り立つ。また、規格直交条件として、\[\begin{align} u_s^\dagger u_{s'} = 2 k^0 \delta_{ss'} \tag{12.3}\end{align}\] を採用する。

同様に、反粒子状態を表す波動関数の複素共役は、\[\begin{align} \psi(x) = v_s (\boldsymbol{k}) (e^{ik_\mu x^\mu} )^* \\ k^0 = \sqrt{m^2 + \boldsymbol{k}^2} \\ (\gamma^\mu k_\mu - m I_{4}) v_s(\boldsymbol{k}) = 0 \\ v_s^\dagger v_{s'} = 2 k^0 \delta_{ss'} \tag{12.4}\end{align}\] と書ける。

また、ディラック共役を\[\begin{align} \bar{u}_s &\equiv u_s^\dagger \gamma^0, \\ \bar{v}_s &\equiv v_s^\dagger \gamma^0 \tag{12.5}\end{align}\] と定義する。

12-2.　ディラック場

ディラック方程式に従う粒子（反粒子）の状態は、運動量\(\boldsymbol{k}\)、スピン\(s\)(\(=\pm1/2\))、および粒子・反粒子の区別（正負の振動数の解）によってラベルされる。そこで、粒子と反粒子の消滅演算子をそれぞれ\[\begin{align} \hat{a}_s(\boldsymbol{k}), \hat{b}_s(\boldsymbol{k}) \tag{12.6}\end{align}\] とする。 フェルミオンであるため、反交換関係として、\[\begin{align} \{ \hat{a}_{s}(\boldsymbol{k}), \hat{a}_{s'} ^\dagger (\boldsymbol{k}') \} = (2\pi)^3 2 k^0 \delta^3(\boldsymbol{k} - \boldsymbol{k}') \delta_{ss'} \\ \{ \hat{b}_{s}(\boldsymbol{k}), \hat{b}_{s'} ^\dagger (\boldsymbol{k}') \} = (2\pi)^3 2 k^0 \delta^3(\boldsymbol{k} - \boldsymbol{k}') \delta_{ss'} \tag{12.7}\end{align}\] を満たす。

運動量\(\boldsymbol{k}\)、スピン\(s\)を持つ1粒子状態は\(\hat{a}^\dagger_s (\boldsymbol{k}) \left\vert 0 \right>\)であり、1つの反粒子が存在する状態は\(\hat{b}^\dagger_s (\boldsymbol{k}) \left\vert 0 \right>\)である。

1粒子波動関数が\[\begin{align} \psi(x) = u_s(\boldsymbol{k}) e^{ik_\mu x^\mu} \tag{12.8}\end{align}\] と書け、反粒子状態の波動関数の複素共役が\[\begin{align} \psi(x) = v_s (\boldsymbol{k}) (e^{ik_\mu x^\mu} )^* \tag{12.9}\end{align}\] と書けることを利用すると、スカラー場と同様の議論により、位置\(\boldsymbol{x}\)で電荷を1つ消滅させる演算子は、\[\begin{align} \hat{\psi}(x) &= \int \frac{d^3\boldsymbol{k}}{(2\pi)^3 2k^0} \sum_s \left( e^{ik_\mu x^\mu} u_s(\boldsymbol{k}) \hat{a}_s(\boldsymbol{k}) + e^{-ik_\mu x^\mu} v_s(\boldsymbol{k}) \hat{b}_s^\dagger (\boldsymbol{k}) \right) \tag{12.10}\end{align}\] と書ける。

ここで、\(\hat{\psi}(x)\)は演算子であり、ディラック方程式\[\begin{align} \left( i \gamma^\mu \partial_\mu - m I_{4}\right) \hat{\psi}(x) = 0 \tag{12.11}\end{align}\] を満たす。 この方程式の解をエネルギーおよびスピンの固有状態で展開したとき、その係数が粒子と反粒子の生成消滅演算子となっていることがわかる。

12-3.　電荷の流れの演算子

生成消滅演算子を組み合わせると数演算子を定義することができるが、\(\hat{\psi}(x)\)を使って同じように \(\left( \hat{\psi}^\dagger (x) \hat{\psi}(x) \right)\)とすれば、これは 位置\(\boldsymbol{x}\)における電荷の密度を数える演算子となる。 さらに、電荷の流れを表す演算子は、\[\begin{align} \hat{j}^\mu(x) = q \hat{\bar{\psi}}(x) \gamma^\mu \hat{\psi} (x) \tag{12.12}\end{align}\] と定義できる。ここで、\(\hat{\bar{\psi}} \equiv \hat{\psi} \gamma^0\)であるため、\(\mu = 0\)の成分が電荷密度を表していることがわかる。

例えば、これを1つの粒子が存在する状態\(\hat{a}_s^\dagger (\boldsymbol{k}) \left\vert 0 \right>\)で挟んで期待値を取ると、\[\begin{align} \left< 0 \right\vert \hat{a}_s(\boldsymbol{k}) \hat{j}^\mu(x) \hat{a}_s^\dagger (\boldsymbol{k}) \left\vert 0 \right> = q \bar{u}_s (\boldsymbol{k}) \gamma^\mu u_s (\boldsymbol{k}) \tag{12.13}\end{align}\] となり、1粒子状態の電荷の流れが再現できる。

また、1つの反粒子の状態\(\hat{b}_s^\dagger (\boldsymbol{k}) \left\vert 0 \right>\)に対しては、\[\begin{align} \left< 0 \right\vert \hat{b}_s(\boldsymbol{k}) \hat{j}^\mu(x) \hat{b}_s^\dagger (\boldsymbol{k}) \left\vert 0 \right> = - q \bar{v}_s (\boldsymbol{k}) \gamma^\mu v_s (\boldsymbol{k}) +(\mathrm{ const.}) \tag{12.14}\end{align}\] となる。生成消滅演算子の反交換関係により符号が反転し、反粒子の電荷が負であることを示している。 以前は1粒子の波動関数を用いて電荷の流れを定義していたため、反粒子に負の符号を付ける際に恣意的な操作が必要だった。しかし、上記の演算子を用いることで、反粒子にも正しく適用できる電荷の流れの定義が得られる。

12-4.　ハミルトニアン

1粒子のハミルトニアンは、\[\begin{align} \hat{H}_\mathrm{ 1-particle} = \gamma^0 (\boldsymbol{\gamma}\cdot \hat{\boldsymbol{k}} + m I_{4}) = \gamma^0 (- i \boldsymbol{\gamma}\cdot \boldsymbol{\partial} + m I_{4}) \tag{12.15}\end{align}\] である。ただし、この式は負の振動数の解に対して負のエネルギーを与えるため、そのままでは使用できない。しかし、これを電荷1つあたりのエネルギーを与える演算子と解釈し直すことで、正しいハミルトニアンとなることが確認できる。

まず、位置\(\boldsymbol{x}\)におけるエネルギー密度は、位置\(\boldsymbol{x}\)における電荷の数を数える演算子\(\left( \hat{\psi}^\dagger (x) \hat{\psi}(x) \right)\)と1粒子のハミルトニアン\(\hat{H}_\mathrm{ 1-particle}\)を組み合わせて \(\left( \hat{\psi}^\dagger (x) \hat{H}_\mathrm{ 1-particle} \hat{\psi}(x) \right)\)と表せる。 これを用いると、多体系での全エネルギーを与えるハミルトニアンは、\[\begin{align} \hat{H} &= \int d^3 \boldsymbol{x} \left( \hat{\psi}^\dagger (x) \hat{H}_\mathrm{ 1-particle} \hat{\psi}(x) \right) \\ &= \int \frac{d^3\boldsymbol{k}}{(2\pi)^3 2k^0} \sum_s \left( k^0 \hat{a}_s^\dagger (\boldsymbol{k}) \hat{a}_s(\boldsymbol{k}) - k^0 \hat{b}_s (\boldsymbol{k}) \hat{b}_s^\dagger (\boldsymbol{k}) \right) 　 \\ &= \int \frac{d^3\boldsymbol{k}}{(2\pi)^3 2k^0} \sum_s \left( k^0 \hat{a}_s^\dagger (\boldsymbol{k}) \hat{a}_s(\boldsymbol{k}) + k^0 \hat{b}_s^\dagger (\boldsymbol{k}) \hat{b}_s (\boldsymbol{k}) \right) + (\mathrm{ const.}) \tag{12.16}\end{align}\] となる。ここで、スピノールの直交性\(u_s^\dagger v_{s'} = 0\)などを用いた。 物理的に意味のない定数項を除くと、正しく全エネルギーを与える演算子となる。

12-5.　相互作用項

電磁場があるときのディラック方程式を考えると、1体系のハミルトニアンは、\[\begin{align} \hat{H}_\mathrm{ 1-particle} &= \gamma^0 \left( \boldsymbol{\gamma} \cdot \left( \hat{\boldsymbol{k}} - q \hat{\boldsymbol{A}} \right) + m I_{4}\right) + q \hat{A}^0 \\ &= \gamma^0 \left( \boldsymbol{\gamma}\cdot \left( \hat{\boldsymbol{k}} - q \hat{\boldsymbol{A}} \right) + m I_{4}+ q \gamma^0 \hat{A}^0 I_{4}\right) \tag{12.17}\end{align}\] と書ける。ここで、電磁場も量子化して演算子とみなした。 この表現を用いると、多体系のハミルトニアンは、\[\begin{align} \hat{H} &= \int d^3 \boldsymbol{x} \left( \hat{\psi}^\dagger (x) \hat{H}_\mathrm{ 1-particle} \hat{\psi}(x) \right) \tag{12.18}\end{align}\] と書け、相互作用部分は\[\begin{align} \hat{H} &\ni - \int d^3 \boldsymbol{x} \left( q \hat{A}_\mu \bar{\hat{\psi}} \gamma^\mu \hat{\psi} \right) \\ &= - \int d^3 \boldsymbol{x} \hat{A}_\mu \hat{j}^\mu \tag{12.19}\end{align}\] となる。これはディラックフェルミオンと電磁場の相互作用を表す。

さらに、ハミルトニアンに含まれる質量パラメータ\(m\)をスカラー場\(\hat{\phi}(x)\)と結合定数\(y\)に置き換えて、\(m \to y \hat{\phi}(x)\)とすると、\[\begin{align} \hat{H} &\ni \int d^3 \boldsymbol{x} \left( y \hat{\phi} \bar{\hat{\psi}} \hat{\psi} \right) \tag{12.20}\end{align}\] が得られる。これは湯川相互作用と呼ばれ、フェルミオンとスカラー場の相互作用を表している。

これらは3体相互作用を記述し、組み合わせることで様々な散乱や崩壊過程を記述できる。

13.　因果律とスピン統計定理

13-1.　因果律

複素スカラー場の因果律を確認するため、次の交換関係を計算する。\[\begin{align} \left[ \hat{\phi}^\dagger (x), \hat{\phi}(y) \right] \tag{13.1}\end{align}\] ここで、粒子と反粒子の部分を分けて\[\begin{align} \hat{\phi}(x) = \hat{\phi}^+(x) + \hat{\phi}^-(x) \tag{13.2}\end{align}\] と書く。粒子と反粒子の生成・消滅演算子は互いに交換するため、\[\begin{align} &\left[ \hat{\phi}^\dagger (x), \hat{\phi}(y) \right] \\ &= \left[ \hat{\phi}^{+\dagger} (x), \hat{\phi}^+(y) \right] + \left[ \hat{\phi}^{-\dagger} (x), \hat{\phi}^-(y) \right] \\ &= \int \frac{d^3\boldsymbol{k}}{(2\pi)^3 2k^0} \frac{d^3\boldsymbol{k}'}{(2\pi)^3 2k^{0'}} \left( e^{ik_\mu x^\mu - i k_\mu' y^\mu} \left[\hat{a}^\dagger (\boldsymbol{k}), \hat{a} (\boldsymbol{k}') \right] + e^{-ik_\mu x^\mu + ik_\mu' y^\mu} \left[ \hat{b} (\boldsymbol{k}), \hat{b}^\dagger (\boldsymbol{k}') \right] \right) \\ &= \int \frac{d^3\boldsymbol{k}}{(2\pi)^3 2k^0} \left( e^{ik_\mu (x^\mu - y^\mu)} - e^{-ik_\mu (x^\mu - y^\mu)} \right) \tag{13.3}\end{align}\] となる。 特に\(x^0 - y^0 = 0\)のとき、\[\begin{align} &= \int \frac{d^3\boldsymbol{k}}{(2\pi)^3 2k^0} \left( e^{i \boldsymbol{k} (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{y})} - e^{-i \boldsymbol{k} (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{y})} \right) \\ &= 0 \tag{13.4}\end{align}\] が成り立つ。 さらに、計算対象の量はローレンツ不変であるため、\(x^0 - y^0 = 0\)からローレンツ変換によって到達できる範囲では常に\(0\)となる。その範囲は、\[\begin{align} (x - y)^2 = - (x^0 - y^0)^2 + ( \boldsymbol{x} - \boldsymbol{y})^2 > 0 \tag{13.5}\end{align}\] を満たす領域、すなわち\(x^\mu\)と\(y^\mu\)が space-like に離れている場合である。したがって、space-like に離れた点では交換関係が常に\(0\)となる。

交換関係が\(0\)であることは、演算子の順序によらずに同じ値を返すということである。これは、演算子\(\hat{\phi}(y)\)が space-like に離れた点\(\hat{\phi}^\dagger(x)\)に影響を与えないことを意味する。 この性質こそが場の理論における因果律を表している。これにより、相対論の最も重要な帰結である因果律が、量子論においても成立することが示された。

ここで、\(\hat{\phi}(x)\)に\(\hat{\phi}^-(x)\)を含めたことで\(\hat{\phi}^+(x)\)由来の項と打ち消し合い、最終的に\(0\)になった点に注目する。つまり、粒子のみを消滅させる演算子\(\hat{\phi}^+(x)\)単独では因果律を満たさず、\(\hat{\phi} = \hat{\phi}^+ + \hat{\phi}^-\)のように組み合わせることで初めて因果律が成り立つ。

なお、その他の交換関係\[\begin{align} \left[ \hat{\phi} (x), \hat{\phi}(y) \right], \quad \left[ \hat{\phi}^\dagger (x), \hat{\phi}^\dagger(y) \right] \tag{13.6}\end{align}\] は自明に\(0\)となるため、同様に因果律を満たしている。

13-2.　スカラー粒子の統計性

上記の計算において、仮にスカラー場の生成消滅演算子が交換関係ではなく反交換関係を満たしていた場合を考える。 このとき、\[\begin{align} & \{ \hat{\phi}^\dagger (x), \hat{\phi}(y) \} \\ &= \int \frac{d^3\boldsymbol{k}}{(2\pi)^3 2k^0} \frac{d^3\boldsymbol{k}'}{(2\pi)^3 2k^{0'}} \left( e^{ik_\mu x^\mu - i k_\mu' y^\mu} \{ \hat{a}^\dagger (\boldsymbol{k}), \hat{a} (\boldsymbol{k}') \} + e^{-ik_\mu x^\mu + ik_\mu' y^\mu} \{ \hat{b} (\boldsymbol{k}), \hat{b}^\dagger (\boldsymbol{k}') \} \right) \\ &= \int \frac{d^3\boldsymbol{k}}{(2\pi)^3 2k^0} \left( e^{ik_\mu (x^\mu - y^\mu)} + e^{-ik_\mu (x^\mu - y^\mu)} \right) \tag{13.7}\end{align}\] となり、一般には\(0\)ではなく、因果律を満たさないことがわかる。 したがって、スピン\(0\)のスカラー場は交換関係で量子化されなければならず、ボソン粒子を表すことがわかる。

13-3.　ディラック粒子の統計性

ディラック場のハミルトニアンは、\[\begin{align} \hat{H} &= \int d^3 \boldsymbol{x} \left( \hat{\psi}^\dagger (x) \hat{H}_\mathrm{ 1-particle} \hat{\psi}(x) \right) \\ &= \int \frac{d^3\boldsymbol{k}}{(2\pi)^3 2k^0} \sum_s \left( k^0 \hat{a}_s^\dagger (\boldsymbol{k}) \hat{a}_s(\boldsymbol{k}) - k^0 \hat{b}_s (\boldsymbol{k}) \hat{b}_s^\dagger (\boldsymbol{k}) \right) 　 \\ &= \int \frac{d^3\boldsymbol{k}}{(2\pi)^3 2k^0} \sum_s \left( k^0 \hat{a}_s^\dagger (\boldsymbol{k}) \hat{a}_s(\boldsymbol{k}) + k^0 \hat{b}_s^\dagger (\boldsymbol{k}) \hat{b}_s (\boldsymbol{k}) \right) + (\mathrm{ const.}) \tag{13.8}\end{align}\] と計算される。 ここで、仮にディラック場の生成消滅演算子が反交換関係ではなく交換関係を満たしていたとすると、3行目の等式が変更を受け、\[\begin{align} \hat{H} &= \int \frac{d^3\boldsymbol{k}}{(2\pi)^3 2k^0} \sum_s \left( k^0 \hat{a}_s^\dagger (\boldsymbol{k}) \hat{a}_s(\boldsymbol{k}) - k^0 \hat{b}_s (\boldsymbol{k}) \hat{b}_s^\dagger (\boldsymbol{k}) \right) 　 \\ &= \int \frac{d^3\boldsymbol{k}}{(2\pi)^3 2k^0} \sum_s \left( k^0 \hat{a}_s^\dagger (\boldsymbol{k}) \hat{a}_s(\boldsymbol{k}) - k^0 \hat{b}_s^\dagger (\boldsymbol{k}) \hat{b}_s (\boldsymbol{k}) \right) + (\mathrm{ const.}) \tag{13.9}\end{align}\] となる。 これは、反粒子のエネルギーの和が負になり、正しく系のエネルギーを表せなくなっている。 したがって、スピン\(1/2\)の粒子を表すディラック場は反交換関係で量子化されなければならないことがわかる。 ⁴³

14.　光の放射吸収と黒体輻射

14-1.　ベクトル場

マクスウェル方程式\(\partial_\mu F^{\mu\nu}=0\)をローレンツゲージ\(\partial_\mu A^\mu = 0\)で書き直すと、\[\begin{align} \partial_\mu \partial^\mu A^\nu = 0 \tag{14.1}\end{align}\] となる。 この方程式はベクトル場の各成分がクライン・ゴルドン方程式に従うことを意味しており、電磁波の偏光の効果を除けばスカラー場と同様の議論で演算子を構成できると予想される。 ここで、偏極ベクトル\(\epsilon^\mu\)は、\[\begin{align} \epsilon^\mu = (0, \boldsymbol{\epsilon}) \\ \boldsymbol{k} \cdot \boldsymbol{\epsilon} = 0 \tag{14.2}\end{align}\] を満たすものである。偏光には2つの自由度があり、それを区別するラベルを\(r\)とする。 このとき、位置\(\boldsymbol{x}\)に光子を1つ消滅させる演算子は、\[\begin{align} \hat{A}^\mu(x) % &= \hat{\psi}^+(x) + \hat{\psi}^-(x) % \\ &= \int \frac{d^3\boldsymbol{k}}{(2\pi)^3 2k^0} \sum_r \left( e^{ik_\mu x^\mu} \epsilon^\mu_r \hat{a}_r(\boldsymbol{k}) + e^{-ik_\mu x^\mu} \epsilon^{\mu*}_r \hat{a}_r^\dagger (\boldsymbol{k}) \right) \tag{14.3}\end{align}\] と書かれることが期待される。

ベクトル場\(A^\mu(x)\)は実であるため、対応する演算子も\((\hat{A}^\mu)^\dagger = \hat{A}^\mu\)を満たし、実スカラー場と同様に粒子と反粒子が同一であることに注意する。 これは、光子が電荷を持たないことを反映している。

フェルミオンとの相互作用ハミルトニアンは、\[\begin{align} \hat{H}_\mathrm{ int} &= - \int d^3 \boldsymbol{x} \hat{A}_\mu \hat{j}^\mu \\ &= - \int d^3 \boldsymbol{x} \left( q \hat{A}_\mu \bar{\hat{\psi}} \gamma^\mu \hat{\psi} \right) \tag{14.4}\end{align}\] と書ける。 この式を用いることで、フェルミオンからの光子の放射や吸収の効果を考察できる。

14-2.　光の放射吸収と黒体輻射

光子が充満している輻射場中に存在する原子の遷移を考える。 簡単のため、原子の状態を\(\left\vert a \right>\)と\(\left\vert b \right>\)のみとし、パウリの排他律は無視する。 また、それぞれのエネルギーを\(E_a, E_b\) (\(E_a > E_b\))とする。

この状態間の遷移に伴い、エネルギー\(\omega = E_a - E_b\)に相当する光子が放射または吸収される。この光子のエネルギー（モード）に注目し、そのモードに\(n\)個の光子が存在する状態を\(\left\vert n \right>\)と表記する。

まず、放射の過程を考える。 初期状態が\[\begin{align} &\text{原子の状態:} \left\vert a \right> \\ &\text{輻射場の状態:} \left\vert n \right> \tag{14.5}\end{align}\] であった場合、 終状態は\[\begin{align} &\text{原子の状態:} \left\vert b \right> \\ &\text{輻射場の状態:} \left\vert n+1 \right> \tag{14.6}\end{align}\] と書ける。 輻射場が平衡状態にある場合には初期状態\(\left\vert n \right>\)は熱平衡分布に従うが、ここでは一般に\(n\)個の光子が存在する場合を考える。

相互作用ハミルトニアンは \(\hat{H}_\mathrm{ int} = - \int d^3 \boldsymbol{x} \hat{A}_\mu \hat{j}^\mu\) と書けるので、 遷移確率は\[\begin{align} \text{遷移確率} &\propto \left\vert { \left< b \right\vert \otimes \left< n+1 \right\vert \left( \int d^3 \boldsymbol{x} \hat{A}_\mu \hat{j}^\mu \right) \left\vert a \right> \otimes \left\vert n \right> } \right\vert^2 \\ &= \left\vert { \int d^3 \boldsymbol{x} \left< b \right\vert \hat{j}^\mu \left\vert a \right> \left< n+1 \right\vert \hat{A}_\mu \left\vert n \right> } \right\vert^2 \tag{14.7}\end{align}\] となる。ここで、光子の部分に注目すると、\(\hat{A}^\mu\)の中には光子の生成演算子\(\hat{a}^\dagger\)が含まれているため、\[\begin{align} \left\vert { \left< n+1 \right\vert \hat{A}_\mu \left\vert n \right> } \right\vert^2 \propto \left\vert {\left< n+1 \right\vert \hat{a}^\dagger \left\vert n \right>} \right\vert^2 \propto (n+1) \tag{14.8}\end{align}\] となる。

次に、吸収の過程を考える。 初期状態が\[\begin{align} &\text{原子の状態:} \left\vert b \right> \\ &\text{輻射場の状態:} \left\vert n \right> \tag{14.9}\end{align}\] であるとすると、終状態は\[\begin{align} &\text{原子の状態:} \left\vert a \right> \\ &\text{輻射場の状態:} \left\vert n-1 \right> \tag{14.10}\end{align}\] となる。 このとき、遷移確率は\[\begin{align} \text{遷移確率} &\propto \left\vert { \int d^3 \boldsymbol{x} \left< a \right\vert \hat{j}^\mu \left\vert b \right> \left< n-1 \right\vert \hat{A}_\mu \left\vert n \right> } \right\vert^2 \tag{14.11}\end{align}\] と表される。

ここで、電荷の流れの演算子がエルミート演算子であること、すなわち \(\hat{j}_\mu^\dagger = \hat{j}_\mu\) であることを用いると、原子に関する寄与は放射の場合と同じであることがわかる。 一方、光子に関する部分は\[\begin{align} \left\vert { \left< n-1 \right\vert \hat{A}_\mu \left\vert n \right> } \right\vert^2 \propto \left\vert {\left< n-1 \right\vert \hat{a} \left\vert n \right>} \right\vert^2 \propto n \tag{14.12}\end{align}\] となる。 したがって、放射と吸収の遷移確率の比は\[\begin{align} R = \frac{\text{放射確率}}{\text{吸収確率}} = \frac{n+1}{n} \tag{14.13}\end{align}\] となる。

ここで、系が温度\(T\)の熱平衡状態にある場合を考える。 このとき、個々の原子の状態が\(\left\vert a \right\rangle\)や\(\left\vert b \right\rangle\)にある相対確率はボルツマン分布に従い、\(\propto e^{- E_i/T}\) (\(i=a,b\))で与えられる。 また、系全体が平衡状態にあるためには、\[\begin{align} &\text{(放射確率)} \times e^{-E_a/T} = \text{(吸収確率)} \times e^{-E_b/T} \\ &\leftrightarrow R = e^{{E_a-E_b}/T} = e^{\omega/T} \tag{14.14}\end{align}\] が成立しなければならない。 上で導いた\(R\)を用いると、\[\begin{align} &\frac{n+1}{n} = e^{\omega/T} \\ &\leftrightarrow n = \frac{1}{e^{\omega/T} - 1} \tag{14.15}\end{align}\] となり、輻射場が従うべきプランク分布が導かれる。

15.　摂動論の概要

ここでは、場の理論の教科書を読むための準備として摂動論の概略を述べる。 詳細な議論は省略し、相互作用を考える上で重要な量であるプロパゲーターについて簡単に説明する。

指数関数の肩にある四元ベクトルの縮約の添え字は省略し、\(e^{ixp}\) は \(e^{ix_\mu p^\mu}\) を意味するものとする。

15-1.　相互作用表示

量子力学には、時間発展を状態に適用するシュレーディンガー表示と、演算子に適用するハイゼンベルグ表示などがある。 ここでは、それらの中間的な表示である相互作用表示を用いる。 この表示では、ハミルトニアン\(H\)を自由場の部分\(H_0\)とそれ以外の相互作用部分\(H_I\)に分け、演算子を自由場のハミルトニアン\(H_0\)によって時間発展させ、量子状態を相互作用部分\(H_I\)によって時間発展させる。

つまり、演算子\(\hat{O}(t)\)は次のように\(H_0\)で時間発展させる。\[\begin{align} &\frac{d}{d t} \hat{O}(t) = i \left[ H_0, \hat{O}(t) \right], \\ &\leftrightarrow \hat{O}(t) = e^{i H_0 (t-t_0)} \hat{O}(t_0) e^{-i H_0 (t-t_0)}, \tag{15.1}\end{align}\] これにより、自由場のハイゼンベルグ表示における場の演算子の表式をそのまま適用できる。 状態の時間発展は次のように与えられる。\[\begin{align} &i \frac{d}{dt} \left\vert \psi(t) \right> = H_I \left\vert \psi(t) \right> \\ &H_I(t) \equiv e^{i H_0 (t-t_0)} H e^{-i H_0 (t-t_0)}, \tag{15.2}\end{align}\] ここで、\(\left\vert \psi(t) \right> = U(t,t_0) \left\vert \psi(t_0) \right>\)を満たすユニタリ演算子\(U_I(t,t_0)\)を導入すると、\[\begin{align} i \frac{d}{dt} U_I(t,t_0) = H_I U_I(t,t_0), \tag{15.3}\end{align}\] が成り立つ。これを逐次的に解くと、次の形式解が得られる。\[\begin{align} &U_I(t,t_0) \nonumber\\ &= 1 + (-i) \int_{t_0}^t dt_1 H_I(t_1) U(t_1,t_0) \nonumber\\ &= 1 + (-i) \int_{t_0}^t dt_1 H_I(t_1) + (-i)^2 \int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 H_I(t_1) H_I(t_2) + \dots \nonumber\\ &= 1 + (-i) \int_{t_0}^t dt_1 H_I(t_1) + \frac{1}{2} (-i)^2 \int_{t_0}^t dt_1 \int_{t_0}^{t} dt_2 T[H_I(t_1) H_I(t_2)] + \dots \nonumber\\ &= T \exp \left[ - i \int_{t_0}^t dt' H(t') \right], \tag{15.4}\end{align}\] ここで、時間順序積\(T\)を、時間の引数が大きい項が左に並ぶように定めた演算子として、次のように定義する。\[\begin{align} T[H_I(t_1) H_I(t_2)] = H_I(t_1) H_I(t_2) \theta(t_1-t_2) + H_I(t_2) H_I(t_1) \theta(t_2-t_1), \tag{15.5}\end{align}\] 演算子が3個以上の場合も同様に定義される。

15-2.　湯川相互作用による散乱

相互作用のある例として、ディラックフェルミオンと実スカラーが湯川相互作用する簡単な素粒子模型を考える。

初期状態として、運動量\(\boldsymbol{p}\)とスピン\(s\)を持つディラック粒子と、運動量\(\boldsymbol{p}'\)とスピン\(s'\)を持つディラック粒子が存在する場合を考える。 この状態は生成消滅演算子を用いて次のように表される。⁴⁴\[\begin{align} \left\vert \boldsymbol{p},s; \boldsymbol{p}',s' \right> = \hat{a}^\dagger (\boldsymbol{p}, s) \hat{a}^\dagger (\boldsymbol{p}', s') \left\vert 0 \right> \tag{15.6}\end{align}\] 散乱後の終状態では、運動量\(\boldsymbol{k}\)とスピン\(r\)を持つディラック粒子と、運動量\(\boldsymbol{k}'\)とスピン\(r'\)を持つディラック粒子に変化したとする。 この状態は次のように表される。\[\begin{align} \left< \boldsymbol{k},r; \boldsymbol{k}',r' \right\vert = \left< 0 \right\vert \hat{a} (\boldsymbol{k}, r) \hat{a} (\boldsymbol{k}', r') \tag{15.7}\end{align}\] この遷移確率を求めるために、次の振幅を計算する。\[\begin{align} \left< \boldsymbol{k},r; \boldsymbol{k}',r' \right\vert U_I(\infty,-\infty) \left\vert \boldsymbol{p},s; \boldsymbol{p}',s' \right> \tag{15.8}\end{align}\] \(U_I\)の形式解の0次の項は、相互作用なしで粒子がそのまま通過する過程を表す。 2次の項には次のような項が現れる。\[\begin{align} &\left< \boldsymbol{k},r; \boldsymbol{k}',r' \right\vert \frac12 (-i)^2 T \int d^4x_1 y \hat{\phi}(x_1) \hat{\bar{\psi}}(x_1) \hat{\psi}(x_1) \nonumber\\ &\qquad \qquad \qquad \times \int d^4x_2 y \hat{\phi}(x_2) \hat{\bar{\psi}}(x_2) \hat{\psi}(x_2) \left\vert \boldsymbol{p},s; \boldsymbol{p}',s' \right> \tag{15.9}\end{align}\] まず、ディラックフェルミオンの部分に注目する。 \(\hat{\psi}(x)\)が運動量固有状態の生成消滅演算子で表されることを思い出すと、自由場の波動関数が次のように現れる。\[\begin{align} \hat{{\psi}}(x_1) \hat{{\psi}}(x_2) \left\vert \boldsymbol{p},s; \boldsymbol{p}',s' \right> = e^{ipx_1} u_s(\boldsymbol{p}) e^{ip'x_2} u_{s'}(\boldsymbol{p}') \left\vert 0 \right> + (p,s \leftrightarrow p',s') \tag{15.10}\end{align}\] 以下ではスピノールの添え字は和を取らず、自由な添え字として残す。 同様に、\[\begin{align} \left< \boldsymbol{k},r; \boldsymbol{k}',r' \right\vert \hat{\bar{\psi}}(x_1) \hat{\bar{\psi}}(x_2) = \left< 0 \right\vert e^{-ikx_1} \bar{u}_r(\boldsymbol{k}) e^{-ik'x_2} \bar{u}_{r'}(\boldsymbol{k}') + (k,r \leftrightarrow k',r') \tag{15.11}\end{align}\] となる。 スカラー場の時間順序積の部分は、\[\begin{align} \left< 0 \right\vert T[ \hat{\phi}(x_1) \hat{\phi}(x_2) \left\vert 0 \right> \equiv - i \Delta_\phi (x_1 - x_2) \tag{15.12}\end{align}\] と書き、ファインマンプロパゲーターと呼ぶ。理論の並進対称性から、この量は\(x_1 - x_2\)のみの関数となる。また、時間順序積の性質により、\(x_1\)と\(x_2\)を入れ替えても値は変化しない。 したがって、このフーリエ変換を取ると、\[\begin{align} \Delta_\phi (x_1 - x_2) = \int \frac{d^4 q}{(2\pi)^4} \tilde{\Delta}_\phi(q^2) e^{iq(x_1 - x_2)}, \tag{15.13}\end{align}\] と表せる。⁴⁵

これらを組み合わせると、二次の摂動項は次のように書ける。\[\begin{align} &i y^2 \left[ \bar{u}_r(\boldsymbol{k}) u_s(\boldsymbol{p}) ][ \bar{u}_{r'}(\boldsymbol{k}') u_{s'}(\boldsymbol{p}') \right] \int \frac{d^4 q}{(2\pi)^4} \nonumber \\ &\qquad \qquad \times \int d^4 x_1 d^4 x_2 e^{-ikx_1-ik'x_2+ipx_1+ip'x_2+iq(x_1 - x_2)} \tilde{\Delta}_\phi(q^2) \nonumber\\ &\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad+ (p,s \leftrightarrow p',s') \tag{15.14}\end{align}\] ここではスピノールの添え字は の中で縮約されている。 また、\(p,s,k,r\)と\(p',s',k',r'\)を同時に入れ替える対称性により、係数として2倍が出ることを用いた。さらに、\(x_1\)に関する積分を実行すると\((2\pi)^4 \delta(k-p-q)\)が現れる。これを用いて\(q\)の積分を消去すると、\[\begin{align} i y^2 [\bar{u}_r(\boldsymbol{k}) u_s(\boldsymbol{p}) ][ \bar{u}_{r'}(\boldsymbol{k}') u_{s'}(\boldsymbol{p}') ] \tilde{\Delta}_\phi((k-p)^2) \int d^4 x_2 e^{i(-k'+p'-q)x_2} \nonumber\\ + (p,s \leftrightarrow p',s') \tag{15.15}\end{align}\] となる。 全エネルギーと運動量の保存則から、\(p+p' = k+k'\)でなければならない。これを考慮すると、\[\begin{align} \int d^4 x_2 e^{i(-k'+p'-q)x_2} = \int d^4 x_2 \tag{15.16}\end{align}\] となり、この部分は全時空の4次元体積を表す。

初期状態と終状態の運動量固有状態は全空間に広がっているため、単位時間単位体積あたりの遷移確率を考える際には、この体積で割る必要がある。これにより、全時空体積はキャンセルする。このときの遷移振幅を\(i\mathcal{M}\)と書くと、\[\begin{align} i \mathcal{M} = i y^2 [\bar{u}_r(\boldsymbol{k}) u_s(\boldsymbol{p}) ][ \bar{u}_{r'}(\boldsymbol{k}') u_{s'}(\boldsymbol{p}') ] \tilde{\Delta}_\phi((k-p)^2) + (p,s \leftrightarrow p',s') \tag{15.17}\end{align}\] となる。

遷移確率は振幅の二乗であるため、単位時間単位体積あたりの遷移確率は、\[\begin{align} \left\vert {\mathcal{M}} \right\vert^2 &= y^4 \left\vert \bar{u}_r(\boldsymbol{k}) u_s(\boldsymbol{p}) \bar{u}_{r'}(\boldsymbol{k}') u_{s'}(\boldsymbol{p}') \tilde{\Delta}_\phi((k-p)^2) \right. \nonumber \\ &\qquad \left. + \bar{u}_r(\boldsymbol{k}) u_{s'}(\boldsymbol{p'}) \bar{u}_{r'}(\boldsymbol{k}') u_{s}(\boldsymbol{p}) \tilde{\Delta}_\phi((k-p')^2) \right\vert^2 \tag{15.18}\end{align}\] となる。⁴⁶

ところで、実験によってはスピンの自由度を考慮しない場合がある。 例えば、初期状態のスピンはランダムに分布し、終状態ではスピンを観測せずに運動量のみを測定することがある。この場合、初期状態のスピンについては平均を取り、終状態のスピンについては総和を取った量\[\begin{align} \left( \frac{1}{2} \right)^2 \sum_{s,s'} \sum_{r,r'} \left\vert {\mathcal{M}} \right\vert^2 \tag{15.20}\end{align}\] が関心の対象となる。 ここで、自由ディラック場の波動関数に着目すると、例えば\[\begin{align} \sum_{s,r} \left\vert {\bar{u}_r(\boldsymbol{k}) u_s(\boldsymbol{p})} \right\vert^2 &= \sum_{s,r} \bar{u}_s(\boldsymbol{p}) u_r (\boldsymbol{k}) \bar{u}_r(\boldsymbol{k}) u_s(\boldsymbol{p}) \\ &= \mathrm{ Tr}\left[ \sum_r u_r (\boldsymbol{k}) \bar{u}_r(\boldsymbol{k}) \sum_s u_s(\boldsymbol{p}) \bar{u}_s(\boldsymbol{p}) \right] \tag{15.21}\end{align}\] のように変形できる。 さらに、レポート課題で導出したスピン和の公式を用いると、この式はガンマ行列の積のトレース計算に帰着される。

15-3.　ファインマンダイアグラムについて

以上の計算は生成消滅演算子の交換関係を用いて直接求めたが、直感的に理解しやすい方法として、ダイアグラムを用いる手法がある。これをファインマンダイアグラムと呼び、対応する計算規則をファインマンルールと呼ぶ。

[ファインマンダイアグラム(略)]

始状態と終状態が同じであれば、すべての中間過程について和を取る必要がある。運動量\(p\)と\(p'\)の同一粒子がスカラー粒子を交換して運動量\(k\)と\(k'\)の同一粒子になる過程では、どの粒子がどの粒子に変化したかを区別せず、すべての可能性を考慮して散乱振幅を計算する必要がある。これは上記の計算で\((p,s \leftrightarrow p',s')\)の項が加わっていることに対応する。

また、中間過程において粒子反粒子の対消滅や対生成が自動的に考慮されていることにも注意する。

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1. 「1粒子系」とした方が直感的にわかりやすいが、「粒子」と「反粒子」は異なる概念を含むため、「一体系」という表現を用いた。\CID{931}

2. 外場や相互作用を考慮しない自由粒子の段階でも、深遠な物理が現れる。\CID{931}

3. この枠組みにより、電子の磁気モーメントや水素原子のスペクトルなどの観測量を計算し、相対論的影響を検証することができる。\CID{931}

4. V（ボルト）は日常で使われる電池などに現れる単位であるため、一見すると人間のスケールに適した単位のように思える。しかし、電圧を生み出す仕組みも、それが作用する対象も電子に関係しているため、電圧の典型的な大きさは電子にとって自然なスケールとなっている。特に、電池における酸化還元反応は電子の放出・吸収を伴う化学反応であり、そのエネルギースケールはイオン化エネルギーや電子親和力といった原子・分子レベルのエネルギーに対応している。\CID{931}

5. この値が1より小さいため場の理論における摂動論が正当化される。\CID{931}

6. いくつかの参考書ではローレンツ計量の符号を\(\eta_{\mu \nu} = (1,-1,-1,-1)\)としているが、本講義では\(\eta_{\mu \nu} = (-1,1,1,1)\)を採用する。\CID{931}

7. 本講義では、ローレンツ変換はローレンツブーストと空間回転のみを指し、空間や時間の反転変換は含まない。実際、素粒子の標準模型は空間や時間の反転に対して対称ではない。\CID{931}

8. ハミルトンの運動方程式\(d\boldsymbol{r}/dt = \partial H /\partial \boldsymbol{p}\), \(d\boldsymbol{p}/dt = -\partial H /\partial \boldsymbol{r}\)からローレンツ力を含む運動方程式\(m d^2 \boldsymbol{r}/dt^2 = q(\boldsymbol{E} + d\boldsymbol{r}/dt \times \boldsymbol{B})\) が導かれる。ここで、\(d\boldsymbol{A}/dt = \partial \boldsymbol{A}/\partial t + (\partial \boldsymbol{r}/\partial t \cdot \boldsymbol{\nabla}) \boldsymbol{A}\) に注意する。\CID{931}

9. [\(\psi^* \times\)[([schrodinger2])]\(-\)[([schrodinger2])]\(^* \times \psi\)] を計算してもよい。\CID{931}

10. 本講義のノーテーションでは、電子の場合\(q=-\left\vert {e} \right\vert\)である。\CID{931}

11. ハミルトニアンは時間方向の並進演算子、運動量は空間方向の並進演算子と考えると、これらの関係は相対論でも変わらないと期待できる。 実際、この表式がローレンツ変換に対して確かに共変であることは、場の理論で学ぶポアンカレ群の生成子の間の交換関係を用いると理解できる。\CID{931}

12. 座標の基底に対する回転変換を考え、回転のベクトルを\(\boldsymbol{\theta}\)とすると、座標成分は逆向きに変換し、 \(\boldsymbol{x}' = R^{-1}(\boldsymbol{\theta}) \boldsymbol{x}\)となる。 これにより、例えば反変ベクトルの空間成分\(\boldsymbol{A}(\boldsymbol{x})\)は\(\boldsymbol{A}'(\boldsymbol{x}') = R^{-1}(\boldsymbol{\theta}) \boldsymbol{A}(\boldsymbol{x})\)と変換するため、通常の意味での3次元ベクトルと見なせる。 一方で、スピン1/2のスピノル\(\boldsymbol{\psi}(\boldsymbol{x})\)は、 \(\boldsymbol{\psi}'(\boldsymbol{x}') = \exp(i \boldsymbol{\theta}\cdot \boldsymbol{\sigma}/2) \boldsymbol{\psi}(\boldsymbol{x})\) と変換する。\CID{931}

13. \(\varphi\)の方程式で\(m \to -m\)として全体の複素共役を取り、\(\varphi^* \to \chi\)とすれば簡単に確かめられる。\CID{931}

14. ここで、\(j^\mu\)の前の係数は、\(-i \eta^{\mu \nu} \partial_\nu \to p^\mu\)としたときに\(j^\mu \to (q p^\mu / m) \left\vert {\phi} \right\vert^2\)のように\(\left\vert {\phi} \right\vert^2\)を除いて古典的な電荷の流れに帰着されるようにした。\CID{931}

15. これは、 保存されるべき量が粒子数ではなく電荷そのものであることを示唆している。歴史的には、 \(\rho(x)\)を単に粒子の確率密度と解釈していた時代があり、それが負となることから理論が破綻すると考えられていた。これに対し、ディラックは次章で述べるディラック方程式を提案し、この問題を解決しようとした。 しかし、保存されるべきは粒子数ではなく電荷であると認めるならば、\(\rho(x)\)に電荷を含めるのが自然であり、その結果\(\rho(x)\)は保存され、かつ正にも負にもなりうることが受け入れられる。

    当時観測されていた粒子はほとんど安定なものに限られ、新たな不安定粒子の存在を想定することには否定的な風潮があった。しかし、現代では粒子は生成・消滅する存在であることが広く理解され、電荷の保存こそが基本原理と見なされている。当時の粒子が安定なものばかりだったのは、ある種の生存バイアスの結果に過ぎず、不安定な粒子が自然界に存在しないことを意味するわけではない。さらに、安定な粒子の種類が限られている必要もなく、実際に宇宙にはダークマターのような未知の安定な物質が存在する可能性がある。\CID{931}

16. 粒子数密度を表す演算子を\(\left|x\right>\left<x\right|\)のように定義しても、それは一般には保存されない。一方、電荷密度を表す演算子はより複雑であり、この時点で具体的な形を示すことは難しい。場の理論の言葉を用いると、適切に規格化した場に対し \(-iq (\hat{\phi}^\dagger \partial_\mu \hat{\phi} - (\partial_\mu \hat{\phi}^\dagger \hat{\phi} )\)で与えられる。\CID{931}

17. ハイゼンベルグ表示もしくは相互作用表示を用いて、自由場の時間発展を演算子に押しつけている。\CID{931}

18. ここでは簡単のため運動量\(\boldsymbol{k}\)を特定の値に取ったが、一般の1粒子状態にも同様の議論が成り立つ。\CID{931}

19. \(\left| \boldsymbol{x} \right>\)には反粒子の状態が含まれておらず、完全系をなさないため、\(\int d^3 x \left\vert {\phi(x)} \right\vert^2 = \left< \phi_{\boldsymbol{k}} \right. \left| \phi_{\boldsymbol{k}} \right> = 1\)とはならない。 また、\(\left| \boldsymbol{x} \right> \left< \boldsymbol{x} \right|\)を粒子を位置\(\boldsymbol{x}\)に見いだす演算子と解釈したとしても、その期待値\(\left< \phi_{\boldsymbol{k}} \right| \boldsymbol{x} \left> \right< \boldsymbol{x} \left| \phi_{\boldsymbol{k}} \right> = \left\vert {\phi(x)} \right\vert^2\)は連続の式を満たさず、粒子数は保存しない。\CID{931}

20. \(m\)の係数を一般の行列としてもよいが、対角化して対角成分などの余計なものを全て\(\gamma^\mu\)や\(\psi\)に押し付けて再定義すれば、単位行列として問題ない。\CID{931}

21. ただし、\(\gamma^\mu\)が定数行列であるため、ディラック方程式のローレンツ共変性は自明ではない。\(\partial_\mu \partial^\mu\)はローレンツ不変だが、\(\gamma^\mu \partial_\mu\)はそうではない。この点については次章で検討する。\CID{931}

22. ただしこれは粒子の状態に対して成り立つ式であり、後に説明する反粒子の場合は異なる。\CID{931}

23. 通常、ハミルトニアンが与えられた系では、量子力学の手続きに従って波動方程式を導出する。しかし、ここでは期待する方程式を与えるようなハミルトニアンを逆算した。\CID{931}

24. ただし、電荷密度\(\rho = q \psi^\dagger \psi\)は常に\(q\)と同じ符号を持つため、電荷密度と解釈するには反粒子の解に対して符号が逆になってしまう。この問題はフェルミオンの反可換性と関連しており、場の理論から正しく解釈する必要がある。しかし、ここでは細かい点には立ち入らず、粒子を表す解に関して\(\rho(x)\)が正しく電荷密度を与え、全体として連続の式を満たすことを確認するにとどめる。\CID{931}

25. ただし、質量が0の場合は\(n=2\)でよく、ワイル方程式が得られる。\CID{931}

26. \(U(\Lambda)\)と\(\Lambda^\mu{}_\nu\)は作用する対象が異なることに注意する。\CID{931}

27. \(\gamma^0\)はエルミート、\(\gamma^i\)は反エルミートであるから、\(\sigma^{\alpha \beta}\)は\((\alpha, \beta) = (0, i)\)の場合には反エルミート、\((i, j)\)の場合にはエルミートである。\CID{931}

28. この式変形は、行列版の極限公式\(\lim_{N \to \infty} \left( 1 + x/N \right)^N = e^x\)に対応する。\CID{931}

29. エネルギー固有状態ではない一般の状態では、時間発展に伴って負の振動数の解が混ざることに注意する必要がある。例えば、粒子が局在するように波束を考えると、その時間発展によって正の振動数の解と負の振動数の解が自然に混ざり合う。一方で、例えば水素原子のスペクトルを計算するときには、電子の波動関数のエネルギー固有状態に興味がある。この場合には正の振動数の解と負の振動数の解が混ざらず、負の振動数の解の存在を特に気にする必要はない。\CID{931}

30. スピンのラベルが\(v_s\)で逆転しているのは、\(v_s\)が反粒子の波動関数の荷電共役変換に対応しており、場の理論において粒子と反粒子の生成・消滅演算子の作用が逆になるためである。 つまり、角運動量の観点から見ると、上向きのスピンを消滅させることは、下向きのスピンを生成することに対応する。 また、一般の運動量の固有状態において\(ik_\mu x^\mu \leftrightarrow - i k_\mu x^\mu\)のように運動量が反転するのも同じ理由による。\CID{931}

31. \(\omega^{2}=m^{2}+k_{z}^{2}\)のとき左辺の行列式が0となるため、これらの代数方程式は非自明な解を持つ。\CID{931}

32. ([eq:sigmaab])と([eq:Ulambda])より、\[\begin{align} U^\dagger(\Lambda) = \exp \left( \frac{i}{4} \delta \omega_{0i} \sigma^{0i} - \frac{i}{4} \delta \omega_{ij} \sigma^{ij} \right) \tag{6.17}\end{align}\] が得られる。 ここで、\(\delta \omega_{0i}\)はローレンツブースト、\(\delta \omega_{ij}\)は空間回転を表す。また、\(u_{s}(\boldsymbol{k})\)と\(u_{s}(-\boldsymbol{k})\)は\(u_{s}(\boldsymbol{0})\)を逆方向にローレンツブーストしたものであるため、([eq:ukmk])および([eq:vkmk])がローレンツ不変であることがわかる。\CID{931}

33. 場の理論の観点では、負の振動数の解は反粒子の荷電共役変換の波動関数であり、エネルギーの期待値を計算する際には場の演算子の交換が必要となる。その結果、フェルミオンの反可換性により負の符号が生じ、反粒子のエネルギーが正となるため、問題は生じない。\CID{931}

34. 場の理論の観点からすると、ディラックの海の概念は不要であり、物理的に正しい描像ではない。しかし、そのアイデアは物性物理学における空孔理論に応用されている。\CID{931}

35. 場の理論による計算では、真空偏極の大きさは無限大になることが知られている。しかし、実際に観測されるのは見かけの電荷のみであり、真空偏極が存在しない状態での電荷を直接測定することはできない。また、真空偏極単独の効果を観測することもできない。このため、無限大になるような量が相殺されることで、実際に観測される電荷は有限の値をとっていると考えられる。この処理をくりこみと呼ぶ。 さらに、見かけの電荷がエネルギースケールによって変化する様子を記述する方程式はくりこみ群方程式と呼ばれ、場の理論における最も重要な帰結の一つである。\CID{931}

36. 実際にはより強い必要条件がいくつかあり、サハロフの3条件と呼ばれている。少なくともこの条件を満たすように素粒子理論を拡張しなければ、この宇宙に存在する物質の起源を説明することができない。\CID{931}

37. クライン・ゴルドン方程式に従う波動関数に対する荷電共役変換の作用は、\(\phi \to \phi^*\)である。\CID{931}

38. \(C\)の形から、特に波動関数\(\psi\)の上下2成分が入れ替わることに注意する。\CID{931}

39. 分母の運動量演算子は、運動量の絶対値の逆数を与えるものとする。もしくは、\(\hat{\boldsymbol{p}}/\left\vert {\hat{\boldsymbol{p}}} \right\vert\)を運動量の方向を表す演算子とする。\CID{931}

40. 群論の観点では、表現空間が既約分解されていることに対応する。\CID{931}

41. ここでは記号の簡略化のため、\(k\)は運動量やスピンなど、すべての自由度の成分を含むものとする。\CID{931}

42. \(2 k^0 \delta^3(\boldsymbol{k} - \boldsymbol{k}')\)の組み合わせはローレンツ不変である。\CID{931}

43. このように、エネルギーの負符号の問題は同種粒子を交換したときの統計性と密接に関係しているため、1粒子状態の波動関数だけを見ても解決できなかったのである。\CID{931}

44. 相互作用のある系における“真空状態"は自由場の真空状態とは異なることに注意が必要であるが、ここでは詳しい説明を省略する。\CID{931}

45. \(\tilde{\Delta}_\phi(q^2) = \frac{1}{q^2 + m_\phi^2 - i \epsilon}\)である。（詳細な説明は省略）\CID{931}

46. これを用いることで、微分散乱断面積を以下のように求めることができる。（詳細な説明は省略）\[\begin{align} \frac{d \sigma}{d \Omega_\mathrm{ CM}} = \frac{1}{64\pi^2 s} \frac{\left\vert {k} \right\vert}{\left\vert {p} \right\vert}\left\vert {\mathcal{M}} \right\vert^2 \tag{15.19}\end{align}\] ここで、\(s = - (p+p')^2\)とする。\CID{931}